Volúmenes

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Volúmenes

Como te decíamos al principio, también nos llama la atención que muchas personas no respondan correctamente preguntas como:* ¿Cuál es el volumen aproximado de la habitación en que están?

  • ¿Cuántos litros hay en un metro cúbico?
  • ¿Cuántos centímetros cúbicos hay e un litro? ¿Y cuántos mililitros?
  • ¿Será común (¿posible?) que haya inyecciones para humanos, para colocar en forma subcutánea de 50 mililitros? ¿Y de 50 centímetros cúbicos?
En forma análoga a lo que hicimos al comienzo te pediremos que imagines un cubo de un metro de lado, ahora apoyado en la esquina de la habitación de 4x3 de la que hablamos antes (cuando la “alfombramos” ¿te acordás?):


Volumenes-000.png
Cuántos de esos cubos necesitarás para cubrir el piso? La respuesta es inmediata: 12, igual que los metros cuadrados que necesitaste para cubrirlo con alfombra:
Ahora imaginemos una cierta altura para la habitación, por ejemplo dos metros (que no es una altura apropiada para una habitación pero que facilitará lo que necesitamos hacerte ver) y cubrámosla hasta el techo:


Volumenes-001.png
Es claro que se necesitarán otros doce, o sea veinticuatro cubos en total.


El cubo que elegimos nos sirve de comparación. Es una unidad arbitraria para medir volúmenes, que vamos a llamar:

CUBO UNIDAD


Formalizando la cuestión si llamamos:

L a la medida del largo

A a la medida del ancho
H a la medida de la altura
V a la medida del volumen
Resulta:
V = L . A . H

En lenguaje común suele decirse que “el volumen del paralelepípedo

de base rectangular (“caja de zapatos”) es largo por ancho por alto”.


Te sugerimos que ahora pienses qué ocurre cuando la unidad no cabe un número entero de veces en la “caja de zapatos” y además que el producto del largo por el ancho por el alto se puede pensar como el producto del área de la base por la altura.

Volumenes-002.png
Tomaremos el cilindro, por ejemplo:


Observá la imagen siguiente (del mismo cilindro visto de dos maneras) para que comprendas que, si se necesita calcular el volumen de un prisma de base no rectangular, como los anteriores, se procede del mismo modo que en el caso de la “habitación”:


Volumenes-003.png

Tenés que calcular cuántos cubitos (obviamente algunos serán “pedacitos”) necesitás para cubrir (“alfombrar”, aunque esta es una alfombra medio alta ¿no?) la base y luego deberás multiplicar esa cantidad por la altura para saber cuántas filas como esa “planchita redonda”, en este caso, vas a necesitar para completar el cilindro.


Entonces bastará saber cómo calcular el área de la base (sea cual fuere la misma) y multiplicarla por la altura correspondiente. Dicho brevemente:


El volumen del cilindro (o de cualquier prisma recto) = Área de la base · Altura
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Te sugerimos que investigues la diferencia que existe entre los conceptos de volumen y capacidad. No encontrarás fácilmente bibliografía pero al menos intentalo. Si no encontrás nada tratá de escribir algo vos y compartirlo con alguien que sepa de estas cuestiones.
Te damos una ayuda: (en secreto porque es demasiado “informal”)
Capacidad: es tener “lugar para”...
Volumen: tiene que ver con el lugar que un cuerpo ocupa en el espacio.


Va ahora un problema (resuelto):
(Debería resultarte muy fácil)


En el fondo de mi casa construyeron una pileta de base rectangular de seis metros de largo por tres metros de ancho y dos de profundidad.


Fuimos al supermercado, compramos un frasco de cloro granulado para que se conserve el agua limpia más días... y no entendemos las instrucciones.


En las instrucciones solamente dice:


Un medida rasa por cada 5.000 litros, diariamente al anochecer.


Vamos a tratar de solucionarlo. Comencemos por preguntarnos: ¿Cuántos centímetros deberá medir la arista de un cubo para que quepa en él exactamente un litro de agua? La respuesta es 10 cm.


Dado que 10 centímetros equivalen a 1 decímetro, se dice que el contenido de un cubo 1 decímetro de arista cabe en un recipiente de un litro (Claro que: triturado, derretido... si no, no vas a poder ponerlo).


Volumenes-005.png

Pero dadas las dimensiones de la pileta, quizá sea mejor pensar en un cubo de un metro de arista.

¿Cuántos cubos de diez centímetros de arista (es decir de un decímetro cúbico de volumen o un litro de capacidad) caben en un cubo de un metro de arista?


Aquí aparecen los primeros cien cubos de diez centímetros de arista. Se trata entonces de cien litros en total

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Como podés darte cuenta fácilmente, alcanzarían para cubrir la base (el piso) de aquel cubo que imaginaste apoyado en el rincón de la habitación.


Pensá ahora que para cubrirlo hasta arriba (totalmente) necesitarás apilar 10 conjuntos de cubos como el anterior:

Ahora podemos afirmar que la capacidad de un cubo de un metro de arista es de MIL litros.


Volumenes-007.png
Recordemos las dimensiones de la pileta y pensemos cuántos cubos de un metro de lado se necesitarán para completarla:


Volumenes-008.png

Luego sólo nos resta decir que, dado que la pileta tiene un volumen de 36 metros cúbicos, por lo tanto una capacidad de 36.000 litros se necesitarán aproximadamente 7 cucharadas de cloro.


Ya estás en condiciones de comenzar a pensar en el siguiente problema: (abordalo con los conocimientos que tenés hasta acá. La idea no es que lo resuelvas ya. Sólo que empieces a pensarlo)


Un barco con 3000 m3 de petróleo se hunde y provoca una mancha en el mar de forma cilíndrica siendo su espesor en metros <FORMULA>, t horas después del hundimiento. Acordonando la mancha 15 horas después del hundimiento, se añaden 0,1 m3 de un detergente por metro de perímetro de la mancha, costando el detergente $50 por m3. Evaluar el costo de esta intervención.


Te brindaremos alguna orientación:# No te asustes de la fórmula, simplemente “modela una situación” es como una “máquina” que vos vas a usar colocando el o los valores que correspondan a t y utilizando la calculadora.


# La mancha de petróleo es un cilindro, que va aumentando el área de su base y disminuyendo su altura, manteniendo constante el volumen (lo que se derramó)


Respuesta: Unos $44.000 aproximadamente

Techito a dos aguas”


Volvamos a nuestro prisma de base rectangular (imaginalo sólido, de madera por ejemplo) y pensá en hacer los dos cortes que te marcamos con línea de puntos.


Si tomamos el cuerpo B por un lado y unimos los cuerpos A y C por el otro como se ve a continuación:


Volumenes-009.png

Concluiremos de inmediato, de manera análoga a lo que hicimos con el área del triángulo, que el volumen del cuerpo B (algo así como un techito “a dos aguas” ¿cierto?) tendrá como volumen la mitad del volumen del prisma.


Los que “terminan” en punta


Si no te hubiéramos mostrado este cuerpo, que como viste, tiene la mitad de volumen que el prisma de la misma base y la misma altura seguramente habrías tendido a decir erróneamente (seguramente realizando aquí una equivocada analogía con el rectángulo y el triángulo, que como te mostramos es cierta para el cuerpo anterior) que la capacidad de la pirámide o bien del cono es la mitad (te lo decimos despacito para que no lo creas vos también) de la del cilindro que tiene la misma base y la misma altura. Esto es falso y podemos mostrarte que dicho volumen (y por lo tanto dicha capacidad) es la tercera parte (y no la mitad) de la del prisma (o del cilindro) que tiene la misma base y la misma altura:



Volumenes-010.png
Sabiendo que los tres cuerpos anteriores tienen la misma base y la misma altura y que para llenar el primero necesitás 36 litros de agua ¿Cuántos litros necesitarás para llenar el segundo? ¿Y el tercero?


En el caso particular del cilindro y del cono (con la misma base y la misma altura) se verificará la siguiente equivalencia entre volúmenes (y entre capacidades)



Volumenes-011.png

Para mostrarlo podrías “fabricar” un cono o una pirámide, sin su base, y un cilindro o un prisma, sin una de sus bases, en cartulina, ambos con las mismas dimensiones. Luego llenás el cono con sémola o con harina, por ejemplo, y luego comprobás que tenés que introducir el contenido de tres conos para llenar el cilindro.


Concluirás entonces


que si el cuerpo “termina en punta” su volumen (y también su capacidad) es la TERCERA PARTE del volumen (o de la capacidad) del prisma (o cilindro) que tiene la misma base y la misma altura.


Resultará entonces, en el caso del volumen del cono:

\text{V=}\frac{\pi \,{\,}{r}^{2}\,{\,}h}{3}


Volumen de la esfera
¡Qué fórmula misteriosa! ¿No?
\text{Vol}\text{.}\,{\,}\text{Esf}\text{.}=\frac{4}{3}\pi \,{\,}{r}^{3}

Verás que el “misterio” no es tal y del modo en que te lo vamos a mostrar creemos que la recordarás para siempre.


Observá con mucha atención las tres imágenes que siguen y leé la información que colocamos debajo de cada uno de ellas:



Volumenes-012.png

Ahora te vamos a mostrar cómo podés comprobar, descubrir experimentalmente, cuál es el volumen de la esfera.


Si tuvieras en tus manos tres “recipientes” como los que acabás de observar; ya sabés que si llenás de agua el cono necesitarás volcarlo tres veces dentro del cilindro para llenar este último.


Por ejemplo: si en el cono cabe un litro, en el cilindro cabrán tres.

¿Y cuántos conos repletos de agua necesitarás para llenar la semiesfera?


¡Exactamente dos!


Por lo tanto si el cono tiene una capacidad de un litro ocurrirá que:


Volumenes-013.png

Siempre que se trate de un cilindro, una semiesfera y un cono de iguales bases y alturas.
Por ejemplo:


Si en el cono cabe un litro, en la semiesfera cabrán dos litros y en el cilindro cabrán tres litros.


¿No te parece curiosa, admirable, la “armonía”, la estética, que está a nuestro alrededor y nunca nos detenemos a mirar?


Fijate en estas imágenes para ver si te quedó todo claro:


Volumenes-014.png
Dos ejemplos: (a iguales bases y alturas)
Cilindro de

9 litros

de capacidad

Semiesfera de

6 litros

de capacidad

Cono de

3 litros

de capacidad

Cilindro de

12 cm3

de volumen

Semiesfera de

8 cm3

de volumen

Cono de

4 cm3

de volumen

Por fin estamos llegando a lo prometido:
buscar un modo de calcular el volumen de la esfera.


Vos sabés que sólo con imaginar la imagen siguiente y recordar la fórmula para calcular el área del círculo (que en este caso nos servirá para saber cuántos “cubitos” necesitás para formar la planchita con la que cubrirás el fondo del cilindro)


Volumenes-015.png


Volumenes 2018-10-08 10-24-02.png


Pero recordá que en este caso tan particular que estamos estudiando, la altura del cilindro es igual al radio de la base (h = r) por lo tanto:


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Luego, como ya sabés: el volumen del cono de esa misma base y altura será:


Volumenes-018.png

Entonces el volumen de la esfera será el doble de este último:


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Fijate por último, cuánto de cierto tiene aquello que te dijimos al principio:


En matemática hay que reservar la memoria para cuando sea imprescindible
A modo de resumen


Colocamos a continuación un resumen gráfico con algún comentario de todo lo dicho hasta aquí respecto del cálculo de volúmenes:


Volumenes-020.png


Como seguramente habrás apreciado hasta aquí. Lo importante, ante el cálculo de un perímetro, área o volumen es realizar un esquema mental de lo necesitás calcular. Tener presente que MEDIR ES COMPARAR. Que la unidad de medida será un segmento en el caso de los perímetros, un cuadrado en el caso de las áreas y un cubo en el caso de los volúmenes.

¿Memorizar? Sólo la longitud y el área del círculo. Pero ahora sabiendo de dónde provienen.


Continuemos con otros cuerpos geométricos en los que hay que saber algunas relaciones entre los volúmenes:

Aquí se mantiene la siguiente proporcionalidad entre los volúmenes
Volumenes-021.png
Aquí se mantiene la siguiente proporcionalidad entre los volúmenes


Volumenes-022.png
Aquí se mantiene la siguiente proporcionalidad entre los volúmenes


Volumenes-023.png


Utilizá todo el tiempo que te haga falta para analizar con detenimiento el cuadro que hemos desarrollado en esta página. Discutilo con tus compañeros. Seguramente si lo hacés lo vas a recordar toda la vida.

Actividad 7)

En los cuerpos de esta página, colocá en dm3 el volumen de cada uno si:
V = 36 litrosZ = 15 litrosW = 140 cm3</div>
Llegó el momento de “hacer cuentas”.


Pensemos en que te dan un recipiente (herméticamente cerrado) como el de la próxima figura y te piden que respondas:


  • 1) ¿Cuántos litros, aproximadamente, caben en él.
  • 2) ¿Cuántos litros de esmalte sintético, aproximadamente, necesitarás para pintarlo con tres capas?
Imaginá que el recipiente está en tus manos, por lo tanto podés tomar medidas (además sabés que necesitás un cuarto litro de pintura para darle una mano a un metro cuadrado).


La base del mismo es un pentágono regular.


Veamos cómo procederías, según lo aprendido hasta aquí. Los de la izquierda son los dos cuerpos.

Primeramente pensarás en el “piso” del prisma:

Volumenes-024.png
Con lo cual, estás cubriendo con cubitos todo el fondo del prisma. Para saber cuántos cubitos necesitarás para hacerlo deberás calcular el área de la base que es un pentágono regular:


Ahora medimos el lado y la apotema:


Volumenes-025.png


Luego el área de cada uno de los cinco triángulos es 12,39 cm2 por lo tanto el área del pentágono será 61,95 cm2.


Pero observá que ese número (61,95) será también el número de cubitos de un centímetro de alto que cubren el fondo del prisma. La siguiente figura te servirá para no confundir conceptos:


Volumenes-026.png
Ya conocemos las áreas de cada pentágono: 61,95 cm2. El área de cada rectángulo será de
8cm · 21,5 cm = 172 cm2


Por último medís la altura del prisma: es de 21,5 cm; por lo tanto necesitarás en total veintiuna y media “planchitas” iguales a la que usamos para cubrir el fondo para completar el volumen de ese prisma (imaginá que para conseguir media planchita le hacés un corte transversal horizontal a ésta:


Volumenes-027.png


Ahora seguimos con las cuentas: 61,95 cm2 · 21,5 cm = 1331,93 cm3 es el volumen del prisma, su capacidad, como verás más adelante es de aproximadamente 1332 mililitros o los que es lo mismo 1 litro y 332 mililitros (respuesta al primer ítem)


Vamos a la segunda pregunta. Como verás para responderla necesitarás saber el área del prisma o sea la suma de las áreas (o superficies) de sus siete caras.


Volumenes-028.png

Se trata de pintar cinco rectángulos y dos pentágonos:

Ya sabemos el valor del área de cada pentágono: 61,95 cm2. El área de cada rectángulo será de 6 cm · 21,5 cm = 129 cm2

El área total será entonces: 2 · 61,95 cm2 + 5 · 129 cm2 = 768,9 cm2

Pero como se deben pasar tres manos, y por supuesto estamos aproximando, se tendrán que cubrir alrededor de 2400 cm2. Si 250 cm3 (un cuarto litro) cubren un metro cuadrado (10.000 cm2) con con aproximadamente 63 cm3 de esmalte.


Área de la esfera
Otro “misterio” a develar
¿Escuchaste hablar de los cinco poliedros regulares? Te los presentamos o recordamos según hayas respondido:
Volumenes-029.png

Como vimos existen tantos polígonos regulares como lados quieras, en cambio sólo existen cinco poliedros regulares. Sin embargo no resulta antinatural pensar a la esfera como el sexto poliedro regular (con infinitas caras):


Volumenes-030.png

Si necesitamos calcular el volumen del dodecaedro o del icosaedro, el volumen de los tres primeros debés poder calcularlo, a esta altura, sin ayuda, la imagen siguiente se sería de mucha utilidad:


Volumenes-031.png

Seguramente estarás pensando cómo hacerlo: calculás el volumen de esa pirámide que está allí dibujada y luego lo multiplicás por doce. Así de simple. Sólo necesitás tres datos: el lado y la apotema del pentágono y la apotema del icoságono (o sea la altura de la pirámide)

Recordá que el volumen de la esfera ya lo sabemos calcular. Ahora te anticipamos que a partir de él hallaremos una fórmula para el área de la misma.

El área de la esfera no es algo en lo que puedas pensar fácilmente relacionándola con “cuadraditos unidad”, como lo hemos hecho hasta ahora con cualquier área. Sin embargo te invitamos a pensar en pintar una esfera, como lo hicimos en el problema del prisma de base pentagonal, comprando lo necesario de pintura, y verás como toma sentido hablar del área de una esfera.

Ahora necesitamos convencerte más firmemente de que podés pensar a la esfera como un poliedro regular de infinitas caras y por lo tanto compuesto por infinitas pirámides “muy, pero muy flaquitas”. Observemos para ello el siguiente poliedro irregular pero con muchísimas caras y la pirámide correspondiente a una de ellas:

Volumenes-032.png
Volumenes-033.png

Después de observar el dibujo anterior seguramente estás en condiciones de imaginar las infinitas “pirámides”, en realidad son casi “palitos” infinitamente finitos, en que quedaría dividida la esfera si la pensáramos como poliedro regular de infinitas caras:


Se suele decir que en el límite las pirámides tienden a acercarse a los radios de la esfera.


Otro modelo posible para comprender a la esfera como un poliedro regular de infinitas caras es pensar en un pompón, luego, con la imaginación, colocarle más y más hilos, cada vez más finitos, más rígidos, como alambres de sección nula, hasta que no quepan ni un solo alambrecito más.


Esperamos que luego de leer estés convencido de que se puede pensar a la esfera como el “sexto” poliedro regular, por lo tanto seguiremos con el problema que estamos tratando de resolver: calcular el área de la esfera. Si te interesa saber por qué no existen más que cinco poliedros regulares decile a tu docente que tenemos la explicación en una pequeña producción multimedia.


Sabemos que el volumen de la pirámide es

V_p = \frac {\text{área de la base} \cdot \text{ altura}}{3}

V_{dod }= \frac{\text{área de la base} \cdot \text{altura}}{3} \cdot 12

V_{icos}= \frac{\text{área de la base} \cdot \text{altura}}{3} \cdot 20

Además queremos que observes que a medida que el número de caras del poliedro aumenta, la medida de la altura de cada pirámide se irá acercando a la medida del radio de la esfera en que el mismo está inscripto. Las expresiones anteriores también pudieron escribirse:

V_{dod }= \frac{12 \cdot \text{área de la base} \cdot \text{altura}}{3}

V_{icos}= \frac{20 \cdot \text{área de la base} \cdot \text{altura}}{3}


Como podrás observar en el primer caso podríamos escribir:


V_{dod}= \frac{\text{área del dodecaedro} \cdot \text{altura}}{3} y en el segundo

Volumenes-034.png

Ahora pensemos en la esfera. Sabemos que:

\text {Volumen de la esfera} = \frac{\text{área de la esfera} \cdot \text{radio}}{3}

\frac{4}{3}\pi\cdot r^3 = \frac{\text{área de la esfera} \cdot \text{radio}}{3}

de donde si despejamos área de la esfera obtenemos:

\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot r^3}{r} \cdot 3 = \text{área de la esfera}

y luego:

\text{Área}\,{\,}\text{de}\,{\,}\text{la}\,{\,}\text{esfera=}4\pi \,{\,}\cdot \,{\,}{r}^{2}\,{\,}


Actividad 8)

Calcular cuántos tarros de pintura de 250 centímetros cúbicos cada uno se debe comprar para pintar una esfera de 5 metros de diámetro si para cubrir un metro cuadrado se necesitan 100 mililitros y se deben realizar dos capas.


Actividad 9)

1) Calcular el área total de un tanque cilíndrico, con tapa, de 2 metros de altura y de 50 centímetros de radio de la base. Calcular también cuántos litros de agua aproximadamente se necesitarán para llenarlo.


2) Un día, un oficinista, cansado de su trabajo, resolvió dar la vuelta al mundo a pie caminando por el Ecuador, pero antes de salir pensó en calcular cuanto más recorrería su nariz que sus pies, sabiendo que la misma está 1,80 metros del suelo. Obtuvo como respuesta: aproximadamente 11,31 metros. ¿Fue correcto su cálculo? Es obvio que debemos pensar en una situación ideal donde la tierra es una esfera perfecta y el oficinista un segmento, cuya nariz es un punto interior al mismo.


3) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide que tiene por base un cuadrado de 10 cm. de lado y una altura de 12 cm.