Una idea acerca de los números irracionales

De Nexos UNLu
Saltar a: navegación, buscar


Si todo número decimal periódico se identifica con un racional y viceversa (recordá que aquellos como \frac{3}{4}=0,\text{75}, que quizá llamabas “no periódicos”, los llamaremos “de período cero” pues 0,75 = 0,75\bar{0}) cabe preguntarse: ¿existirán números decimales con cifras no periódicas?

La respuesta a esta pregunta es ¡SÍ! y seguramente pensaste en \pi . Éste fue el primer número no racional del que te hablaron (en quinto o sexto año) y sobre el cual tus maestras o maestros te habrán dicho que tiene “un montón” de cifras después de la coma “que no se repiten”. Pero sólo usarían las dos primeras aproximando a \pi con 3,14.


Más adelante escuchaste que números como \sqrt{2}\,{\,};\sqrt{3}\,{\,};\sqrt[3]{7}\,{\,};\,{\,}\text{etc}\text{.} tienen infinitos decimales no periódicos y habrás escrito cosas como:


\sqrt{2} = 1,41421356…
\sqrt{3} = 1,7320508075688…
\pi = 3,14159…


donde los puntos suspensivos indican que las cifras continúan, pero no las conocemos a todas porque son infinitas y no periódicas (podés escribir todas las que quieras). Obviamente no se pueden escribir en forma de fracción o razón (o cociente), de allí su nombre: se los denomina irracionales.


De esta manera seguimos ampliando los conjuntos numéricos. La unión de los números racionales y los irracionales forma un nuevo conjunto que se denomina conjunto de números reales:

Q U I = R
(que puede leerse “el conjunto de los números racionales unión el de los irracionales da por resultado el conjunto de los números reales)


Es decir, si un número real es periódico, entonces es racional; en caso contrario es irracional.

Volvamos a uno de los ejemplos de número irracional dado anteriormente: \pi .


¿Es correcto decir que \pi = 3,14?


NO, pues se están elimiando infinitas cifras decimales, es decir, se las está “convirtiendo en ceros” y eso no es correcto.


Pero recordarás que al calcular la longitud de una circunferencia de radio 6 cm, por ejemplo, has hecho: 2·\pi · 6 cm o sea 2 · 3,14 · 6 cm = 37,68 cm y lo admitiste como correcto. ¡Y lo es!... siempre y cuando aclares que trabajaste con un cierto error, que depende de la cantidad de cifras consideradas para el irracional \pi


En realidad correcto sería responder que la longitud de la circunferencia dada es “aproximadamente 37,68 cm”, en lugar de “igual a 37,68 cm”.

Si hubiéramos trabajado con una cifra más para aproximar a\pi , es decir, con la aproximación 3,141, o mejor 3,142 porque la cuarta cifra es un 5, la longitud calculada sería de 2 · 3,142 · 6 cm = 37,694 cm. Observemos que este número tiene más información que el primero, y cuantas más cifras consideremos para\pi , más exacto será el resultado -aunque, ¿quién asegura que el radio es “exactamente” de 6 cm se haya medido con una vieja regla o con el mejor instrumento de precisión?- Por lo tanto hay que aceptar que en las mediciones siempre se aproxima.


Entonces, ¿qué escribimos cuando necesitamos trabajar con el número irracional \pi ? Simplemente\pi ; es la manera más simple de nombrarlo. Lo mismo ocurre con \sqrt{2}, detal maneraque si nos encontramos con la expresión \sqrt{2}+\sqrt{3} debemos dejarla así o aproximarla según el contexto en que estemos trabajando.


Veamos otras operaciones entre números reales:* \sqrt{4}+\sqrt{\text{16}}, ¿se trata de números irracionales? NO, pues esa suma puede escribirse como


2 + 4, es decir, se trata del número racional 6.


  • 9,5 - \sqrt[3]{\text{216}}, otra vez estamos en presencia de números racionales: 9,5 – 6 = 3,5


  • \sqrt{4}+\sqrt{5}, en este caso el primer término es el racional 2 y el segundo es el irracional \sqrt{5} , de tal manera que esa suma se puede escribir 2 + \sqrt{5}.


  • \sqrt{7}+\sqrt{7}, se puede escribir (si conviene) 2\sqrt{7}


  • \sqrt{\text{18}}\text{.}\sqrt{2}=\,{\,}6,\,{\,}\text{es}\,{\,}\text{racional},\,{\,}\text{en}\,{\,}\text{cambio}\,{\,}\sqrt{2}\text{.}\sqrt{3}\,{\,}=\sqrt{6}\,{\,},\,{\,}\text{es}\,{\,}\text{irracional}



Para terminar esta unidad nos interesa que te “amigues” un poco más con los números irracionales y puedas “construir” todos los que quieras.


Pensá en números escritos en forma decimal en los que colocando la suficiente cantidad de decimales después de la coma puedas saber cómo continúa y esa “sucesión”, te permita ver una “regularidad” tal que estés seguro de que no aparecerá período.


La cuestión no parece fácil, sin embargo, en cuanto te demos algunos ejemplos, podrás “construir” todos los irracionales, expresados en forma decimal, que quieras.


Por ejemplo: 25,34897101100111000111100001111100000111111000000…


¿Te das cuenta de cómo sigue? Estamos seguros de que sí y a partir de él ya podés construir otros de modo análogo:


1,272277222777222277772222277777…

Otro ejemplo:

90654,123456789101112131415161718192021…

Otro más:

4,02468101214161820222426…

El último:

4,002468101214161820222426…


Evidentemente este último es un número menor que el anterior, pero mayor que 4,0010024681012141618202224…. ¿Por qué? Porque tomando convenientes aproximaciones (también llamados “truncamientos”) de los números reales dados, que resultan obviamente racionales, se cumple que

4,001 < 4,002 < 4,024
(nos bastó solamente con tres cifras después de la coma).


Observamos así que también los irracionales se pueden ordenar.


Recordemos que el conjunto de los números racionales denso. También lo es el de los irracionales y, como consecuencia, también el de los reales.


Históricamente la existencia de los irracionales (que son más que los racionales, pero esta es una cuestión para un curso de mayor nivel, pues ordenar infinitos no es una cosa nada simple) no fue fácil de “asimilar” por los hombres que se dedicaron a estudiar matemática (la intuición, dada la densidad de Q, hace creer que sólo con los racionales la recta está “totalmente completada”).


Sin embargo puede probarse, y vos estás en condiciones de hacerlo, que si “colocamos” sobre la recta numérica sólo a los racionales quedarán infinitos puntos de la misma sin que les corresponda ningún número.


Puede demostrarse, pero es más difícil, que “colocando” también a todos los irracionales la recta queda “totalmente completada”.


Dicho de otro modo, existe una relación biyectiva (uno a uno) entre los números reales y los puntos de la recta numérica.


La recta numérica queda determinada fijando a dos puntos (números) distintos dos números cualesquiera. Suelen tomarse el cero y el uno.


Sólo con ello una recta cualquiera pasa a ser LA RECTA REAL.


De allí lo que seguramente habrás visto muchas veces: que tus docentes colocan una R, del lado derecho (se trata de una línea orientada arbitrariamente de izquierda derecha), sobre la recta cuando representan números sobre ella, haciendo alusión con R al hecho que van a utilizar a la recta para representar al conjunto de los números reales.


Una idea acerca de los numeros irracionales-000.png

Otro número tan “famoso” e importante como \pi es el número e.


Su importancia reside tanto por el lugar que ocupa en el desarrollo teórico de la matemática como por sus increíbles aplicaciones a la biología y también a la economía.

Seguramente escuchaste hablar menos veces de e que de \pi pero cuando trabajemos con función exponencial vamos a familiarizarnos con el número e.


Mientras tanto te daremos una introducción:


Conseguí la aproximación racional que tu calculadora da del número e. Lograrás, según la precisión de tu calculadora: 2,718281828 que es una aproximación (racional) del valor del número irracional e.


Si tu calculadora científica es de otro tipo intentá igualmente conseguir una aproximación racional de e; si no lo lográs pedí ayuda.


Un modo de definir al número e es el siguiente:

\lim_{n \to \infty}\biggl ( 1+ \frac{1}{n}\biggr)^n = e


Si en la escuelan \rarr \infty no estudiaste este tema de límite, te bastará comprender su significado intuitivamente: cuanto más grande es el valor que toma "n" (se puede simboliza ) más próximo a e será el número que se obtiene con la expresión

{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n}

(cuando n vaya tomando valores “muy grandes”).

Te pedimos que obtengas con calculadora cuatro aproximaciones del número e, utilizando la expresión precedente reemplazando el valor de n por los números 10, 100, 1 000, 100 000 y que las compares con la que obtuviste con la calculadora.


Actividad 1)

a) Mencionar dos números irracionales mayores que 3,14159 y menores que \pi.

b) Mencionar dos números irracionales y dos racionales comprendidos entre 2,7 y e.


No te damos la respuesta. Hay infinitas posibles.


Actividad 2)

Los puntos suspensivos que aparecen en los siguientes números indican que tienen infinitas cifras. Además mostramos, colocando una buena cantidad de ellos, que existe una regla que se usó para generarlos. Descubrir dicha regla y colocar al menos diez cifras más, antes de los puntos suspensivos. Luego colocar \,{\,}Q\,{\,}o\,{\,}\text{bien}\,{\,}\notin \,{\,}Q según corresponda (recordá que con la letra Q representamos al conjunto de los números racionales)


  1. 2,4477816363636363636363…
  2. 0,888888888888888…
  3. 3,12112111211112111112…
  4. -6,34555555555…
  5. 1,991992993994…
  6. 5,21202121212221232124…


II.# Escribir dos irracionales, uno en forma decimal y el otro no, mayores que 1 y menores que \sqrt{2}.

  1. Escribir un número racional, en forma de fracción, comprendido entre \sqrt{2}\,{\,}y\,{\,}\sqrt{3}.
  2. Escribir un número irracional comprendido entre \sqrt{2}\,{\,}y\,{\,}\sqrt{3}.


{x}_{1}\,{\,}\in \,{\,}Q,\,{\,}{x}_{2}\,{\,}\notin \,{\,}Q\,{\,}\text{tales}\,{\,}\text{que}\,{\,}-\sqrt{3}\,{\,}< \,{\,}{x}_{1}\,{\,}< \,{\,}{x}_{2\,{\,}}\,{\,}< \,{\,}-\sqrt{2}\,{\,}4) Hallar.
(Fijate que, aunque aquí lo expresamos con símbolos, te estamos pidiendo cosas
muy parecidas a las de los ejercicios anteriores)


5) Ordenar de menor a mayor los siguientes números reales:
\sqrt{3};\,{\,}\mathrm{1,7};\,{\,}\mathrm{1,}\stackrel{-}{7};\,{\,}1,\text{73};\,{\,}-\pi ;\,{\,}-3,\text{14};\,{\,}\frac{\text{34}}{\text{21}};\,{\,}-\mathrm{3,1}\stackrel{-}{4}


No te damos la respuesta