Tres teoremas relacionados con las propiedades de orden de los reales

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Tres teoremas relacionados con las propiedades de orden de los números reales

Más adelante nos será muy útil conocer los siguientes tres teoremas:


1) Si se suma a los dos miembros de una desigualdad un mismo número cualquiera se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, que es consecuencia de la dada.

En símbolos, si a, b y c son números reales entonces:


a < b equivale a decir a + c < b + c o bien a > b equivale a decir a + c > b + c


Ejemplos:

Sabemos que 3 > 2 (que es una proposición verdadera) y sumamos a ambos miembros 5 obtenemos 8 > 7 (que también lo es)


Sabemos que – 5 < 11 (que es una proposición verdadera) y sumamos a ambos miembros por – 8 obtenemos – 13 < 3 (que es una proposición verdadera)


Si sabemos que 3 + x > – 2 (que es una proposición verdadera) y sumamos a ambos miembros por – 3 obtenemos

x > – 5 (que también lo es).

Nota: x > – 5 también puede escribirse x\in \left(-5,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right).


Si sabemos que x-7\le 1 (que es una proposición verdadera) y sumamos a ambos miembros por 7 obtenemos

x\le 8( que es una proposición verdadera).

Nota: x\le 8 también puede escribirse x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}8\rbrack


2) Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un mismo número POSITIVO (en este caso c), se obtiene otra desigualdad DEL MISMO SENTIDO que es consecuencia de la dada.

En símbolos, si a, b y c son números reales y c > 0 entonces:

a < b equivale a decir a · c < b · c o bien a > b equivale a decir a · c > b · c


Ejemplos:

Sabemos que 3 > 2 (que es verdadero) y multiplicamos a ambos miembros por 5 obtenemos 15 > 10 (que también lo es)

Si sabemos que \frac{1}{2}x> -7 (que es verdadero) y multiplicamos a ambos miembros 2 obtenemos

x > – 14 (que también lo es).

Nota: x > – 14 también puede escribirse x\in \left(-\text{14},\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)


3) Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un mismo número NEGATIVO (en este caso c), se obtiene otra desigualdad DE SENTIDO CONTRARIO que es consecuencia de la dada.

En símbolos, si a, b y c son números reales entonces y c < 0:

a < b equivale a decir a · c > b · c o bien a > b equivale a decir a · c < b · c

Ejemplos:

Sabemos que 3 > 2 (que es verdadero) y multiplicamos a ambos miembros por – 5 obtenemos

– 15 < –10 (que también lo es)

Si sabemos que -\frac{1}{2}x> -7 (que es verdadero) y multiplicamos a ambos miembros – obtenemos

x < 14 (que también lo es).

Nota: x < 14 también puede escribirse x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}\text{14}\right)