Porcentaje, aumentos y disminuciones sucesivas

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Deteniéndonos en el porcentaje

Introducción


La orientación que le hemos dado a este tema de porcentaje es más bien introductoria a la matemática financiera, sin embargo estamos convencidos de que es una mirada útil para todos y más que nada nos parece un recurso posible para ayudar a erradicar las graves problemáticas de cálculos con decimales que hemos presentado antes.


Repasando
Supongamos que entrás a un negocio con la intención de comprar un reloj de pared cuyo precio, expuesto en la vidriera, es de $50. Decidís llevártelo, pero al comentarle al vendedor que lo vas a pagar con tarjeta de crédito te dice que, en ese caso, tenés que pagar un 10% de recargo. Seguramente, de inmediato y sin necesitar papel y lápiz sabés que el "nuevo precio" es de $55.


Analicemos juntos cuáles son los cálculos mentales que realizaste:

Primero calculaste el 10% de 50. ¿Cómo? quizá, en este caso en particular contestes "tomé la décima parte de 50 que es 5".

Pero ¿y si el recargo hubiese sido del 8%? ¿o del 15%? Quizá no tengas la misma facilidad para calcular el precio final.


Definición

Como ya dijimos, para indicar las x/100 partes de un número A se escribe x% de A ( se lee “x por ciento de A”).

En nuestro caso, el 10% de 50 = \frac{\text{10}}{\text{100}}\,{\,}\cdot \,{\,}\text{50} = 5

Si el recargo era del 8%, entonces: 8% de 50 = \frac{8}{\text{100}}\,{\,}\cdot \,{\,}\text{50} = 4

o bien, si hubiese sido del 15%: 15% de 50 = \frac{\text{15}}{\text{100}}\,{\,}\cdot \,{\,}\text{50} = 7,50

Otros ejemplos:

5%\text{ de }40=\frac{5}{100} \cdot 40=2
5%\,{\,}\text{de}\,{\,}\text{100}\,{\,}=\,{\,}\frac{5}{\text{100}}\,{\,}\cdot \,{\,}\text{100}=5
\text{10}%\,{\,}\text{de}\,{\,}\frac{3}{5}\,{\,}=\,{\,}\frac{\text{10}}{\text{100}}\,{\,}\cdot \,{\,}\frac{3}{5}=\frac{3}{\text{50}}

Actividad 1)

Calcular:

el 5 % de 20

el 5% de 5

el 100% de 30
el 150% de 40
el 1% de 100
el 10% de 90
el 10 % de 3080
el 7% de 4/3


Repuestas:
1; 0,25; 30; 60; 1; 9; 308; 7/75
Profundizando acerca del porcentaje


Aumentar una suma S en un x%

Si S es una cantidad que queremos incrementar en un x% procedemosasí:

S + x% de S = S +\frac{x}{\text{100}}S = S (1+\frac{x}{\text{100}})
Es decir, bastará multiplicar dicha cantidad S por el número 1+\,{\,}\frac{x}{\text{100}}
En nuestro ejemplo \text{50}\text{.}\left(1+\frac{\text{10}}{\text{100}}\right)=\text{55}

Otro ejemplo:

Un comerciante compra un producto en $25; ¿a cuánto tiene que venderlo para ganar el 30%?

25 · (1+\frac{\text{30}}{\text{100}}) = 25 · 1,30 = 32,5 (El 130% de 25)

Otro ejemplo.


Adriana tiene un comercio de venta de calzado y muchos de sus clientes le pagan en varias cuotas. Ella utiliza la siguiente tabla de recargos en función de la cantidad de cuotas mensuales que su cliente desee pagar:

Cantidad de cuotas Recargo
1 5%
2 8%
4 10%
6 15%
12 30%

Observemos alguna de las situaciones que pueden presentársele a Adriana y también veamos qué pocas cuentas tiene que realizar trabajando del modo explicado antes:


La señora Arozza compra zapatos para toda su familia gastando un total de $186 y desea pagarlos en 6 cuotas.


Adriana toma su calculadora y hace:

$186 · 1,15 = $213,90 (importe total)
$213,90 : 6 = $35,65 (valor de cada cuota)


El último resuelto: (después trabajás vos)

La cantidad 346 fue aumentada en un cierto porcentaje desconocido, obteniéndose 406,55. Calcular ese porcentaje.
346 · (1+\frac{x}{\text{100}}) = 406,55
De donde x = (406,55 : 346 - 1) · 100 = 17,5.
Rta: 17,5%


Actividad 2)

En el siguiente cuadro deben aparecer: en la primera columna distintos valores, en la segunda columna los porcentajes de aumento que se les ha aplicado, y en la tercera columna, el resultado obtenido finalmente. Completá los casilleros que hemos dejado en blanco para que esto suceda.
Suma original Porcentaje de aumento Suma resultante luego de aplicar ese porcentaje de aumento a la suma original
350 80%
350 8%
350 0,8%
350 0,08%
350 800%
218 298,66
460 211%
Respuesta:
Suma original Porcentaje de aumento Suma resultante luego de aplicar ese porcentaje de aumento a la suma original
350 80% 630
350 8% 378
350 0,8% 352,8
350 0,08% 350,28
350 800% 3150
218 37% 298,66
460 211% 1430,6
Disminuir una suma S en un x%


Victoria tiene un bebé de seis meses y desea comprar un cuadro para decorar su dormitorio.


En la vidriera de un negocio ve uno que le gusta y además un enorme cartel que dice:


Sólo por hoy, fecha de nuestro aniversario, ofrecemos todos los productos con el 15% de descuento


El precio de lista del cuadro es $40. Victoria se pregunta cuánto le costará con ese descuento y de inmediato se responde: $34.


Analicemos qué cuentas realizó mentalmente:


Primero calculó el 15% de 40 del modo que ya aprendimos, con lo que obtuvo $6; luego los restó de $40 y obtuvo $34 (o quizá le resultó más fácil restar a 40 primero el 10%, 4, y luego la mitad de ese 10%, 2)


Si S es una cantidad a la cual queremos descontarle un x% procedemos así:
S - x% \text { de } S = S - \frac{x}{100} \cdot S = S \biggl(1 - \frac{x}{100}\biggr)

Es decir, bastará multiplicar dicha cantidad S por el número 1 - \frac{x}{100}


En el caso del precio del cuadro que compró Victoria la cuenta será:


$40 · (1 - 0,15) = $40 . 0,85 = $34 (85% de 40)
Otro ejemplo:


Por pago en efectivo sobre una compra de $160 se hace un descuento del 12%; ¿cuánto debe pagarse entonces de esa manera?
\text{160}\text{.}\left(1-\frac{\text{12}}{\text{100}}\right)=\text{160}\,{\,}\text{.}\,{\,}0,\text{88}=\text{140}\mathrm{,8} (el 88% de 160)


Uno algo diferente: Una suma de $318,50 es disminuida en un porcentaje desconocido obteniéndose $305,76. Calcular ese porcentaje desconocido.
\text{318},\text{50}\left(1-\frac{x}{\text{100}}\right)=\text{305},\text{76}


de donde resulta x = 4
(si tenés problemas para despejar x, pedí ayuda a tu docente y practicá mucho)
Rta: 4%


Actividad 3)


En el siguiente cuadro deben aparecer: en la primera columna distintos valores, en la segunda columna los porcentajes de disminución que se les ha aplicado, y en la tercera columna, el resultado obtenido finalmente. Completá los casilleros que hemos dejado en blanco para que esto suceda.

Suma original Porcentaje de disminución Suma resultante luego de aplicar ese porcentaje de disminución a la suma original
350 80%
350 8%
350 0,8%
350 0,08%
350 100%
218 161,32
88% 18
460 211%
Respuestas:
Suma original Porcentaje de disminución Suma resultante luego de aplicar ese porcentaje de disminución a la suma original
350 80% 70
350 8% 322
350 0,8% 347,2
350 0,08% 349,72
350 100% 0
218 26% 161,32
150 88% 18
460 211% No tiene sentido.

Llamando S a la cantidad original y M a la que se obtiene después de aumentar o disminuir la cantidad S podemos resumir todo lo dicho así:



Aumentos y/o disminuciones sucesivas


Pongamos el siguiente problema: en cierto país el porcentaje de aumento del costo de vida fue del 10% en 1976 y también del 10% en 1977. Calcular cuál fue el porcentaje total aumentado al cabo de esos dos años.


Pregunta: ¿Será diez "más" diez igual a veinte?


Rta: ¡NO!


Veámoslo sobre un caso concreto para que te convenzas:


Supongamos que vivís en ese país y que tenés un negocio. Un producto está marcado, desde hace un año, para ser vendido a $100. El 2 de enero de 1977 abrís el diario y te enterás de que el aumento del costo de vida durante el '76 fue del 10%, de inmediato, para no descapitalizarte, lo marcás a $110.

Al año siguiente, el 2 de enero de 1978 (porque el 1o no hay diarios) te ocurre exactamente lo mismo, entonces tomás el producto y le recargás el 10%. El nuevo precio de venta será $121.

Si un producto aumenta de $100 a $121, el porcentaje total aumentado es del 21%.

Alguien podría preguntar ¿y si el valor del producto no fuese 100? La respuesta será siempre 21%.

Lo probaremos: Si le aplicamos a S el primer aumento del 10% obtenemos:

S' = S . 1,10


Si ahora le aplicamos a esa suma S' el segundo aumento obtenemos:

S" = S'.1,10 = S . 1,101,10 (observá que reemplazamos S' por su igual: S.1,10)

De donde:
{S}^\text{''}=S.\biggl(1+\frac{x}{\text{100}}\biggr) observá que calculamos 1,10 . 1,10 = 1,21)
luego resulta 1,\text{21}=\left(1+\frac{x}{\text{100}}\right) por lo tanto:
x = 21


Dos ejemplos muy importantes:
Los próximos dos ejemplos resultan claves para poder seguir adelante sin dificultades. Por eso te pedimos que, si no estás convencido de todo lo que se indica en ellos, no sigas adelante. Si no, después de hacer el mayor esfuerzo posible por comprender, primero solo o con tus compañeros, pedí ayuda a tu docente.



Primer ejemplo

Se tiene una suma de $3 600, se la aumenta en un 20% y luego a ese resultado se lo disminuye en un 18%. a) ¿Cuánto se obtendrá? b) En definitiva, ¿la suma aumentó, quedó igual o disminuyó? c) ¿En qué porcentaje?

$3 600 . 1,20 = $4 320;$4 320 . 0,82 = $3 542,40


Rta. a) Se obtendrán $3542,40
Rta. b) La suma original disminuyó.
Falta responder aún c): cuál fue el porcentaje de disminución.
Observemos que podemos expresar las dos cuentas anteriores en una solamente:
$3600 . 1,20 . 0,82 = $3600 . 0,984 = \$ \text{3600}\,{\,}\text{.}\,{\,}\left(1-\frac{x}{\text{100}}\right)
de donde 0,984 = 1-\frac{x}{\text{100}}, ahora despejando x queda:
x = 1,6


Rta. c) 1,6%
Segundo ejemplo


Una suma S = 120 recibe un aumento del 5%, luego una disminución del 51% y después un aumento desconocido. Al final se obtuvo 98,784. a) Calcular ese porcentaje de aumento desconocido. b) En qué porcentaje disminuyó la suma original?


a) 120 · 1,05 · 0,49 · \left(1+\frac{x}{\text{100}}\right) = 98, 784 (*)


de donde


1+\frac{x}{\text{100}}= 1,6 luegox = 60Rta. a) 60%


b) Conocido ahora el valor de x, el primer miembro de la (*) es 120 . 0,8232


Luego, 120 · 0,8232 = 120 · ( 1-\frac{x\,{\,}}{\text{100}}),
es decir, 0,8232 = 1-\frac{x\,{\,}}{\text{100}}
de donde se deduce que


x` = 17,68


Rta. b) Disminuyó en un 17,68%.


Muchas actividades propuestas

Actividad 4)

En el siguiente cuadro deben aparecer: en la primera columna distintos valores, en la segunda columna porcentajes de aumento que se les ha aplicado y en la tercera los porcentajes de disminución que se les ha aplicado luego del eventual aumento. En la cuarta columna, el resultado obtenido finalmente. Completá los casilleros que hemos dejado en blanco para que esto suceda.

(Los dos primeros renglones que están completados, sólo debés verificarlos)

Suma al comienzo Porcentajes de aumento que se aplicaron sucesivamente Porcentajes de disminución que se aplicaron sucesivamente Porcentaje de aumento o de disminución final (aclarar qué tipo) Suma al final
420 3%, 13% 20% Disminuyó un 6,888% 391,0704
Desconocida 0,3% 1% Disminuyó un 0,703% Desconocida
1.000 10%, 30% Ninguno
120 8% 117,936
10 10%, 10%, 10% 10%, 10%, 10%
10%, 10%, 10% ninguno 23,958
Desconocida Ninguno 10%, 10%, 10%
Respuestas:
Suma al comienzo Porcentajes de aumento que se le aplicaron Porcentajes de disminución que se le aplicaron Porcentaje de aumento o de disminución final (aclarar cuál) Suma al final
420 3%, 13% 20% Disminuyó un 6,888% 391,0704
Desconocida 0,3% 1% Disminuyó un 0,703% Desconocida
1.000 10%, 30% Ninguno 43% 1430
120 8% 9% Disminuyó el 1,72% 117,936
10 10%, 10%, 10% 10%, 10%, 10% Disminuyó el 2,9701% 9,70299
18 10%, 10%, 10% ninguno 33,1% 23,958
Desconocida Ninguno 10%, 10%, 10% 27,1% Desconocida

Actividad 5)

Resolver los siguientes problemas:

a) Un comerciante compra un producto en $5.600 ¿A cuánto tiene que venderlo para ganar el 20%?


b) El precio de venta de una mercadería fue de $780, y el precio de costo de $520. Calcular el porcentaje de ganancia.


c) Un comerciante compra un producto y después lo vende a $7.920, ganando el 20%. ¿Cuál fue el precio de compra del producto? Verificar el resultado.


d) Si el aumento del costo de vida es del 6% anual, ¿cuál es el porcentaje de aumento en dos años?


e) A partir de un cierto número S se aplica primero un incremento del x% y después otro del y%. Demostrar que se obtiene el mismo resultado que si se hubiera aplicado primero el y% y después el x%.


f) Una cantidad C se incrementa en un 15%. Al resultado se aplica un descuento del 10%. Se obtiene $155,25. Calcular C.


g) Suponiendo que el índice de precios al consumidor aumentó el 1,5% durante el último mes, calcular el valor que tenía un producto antes del aumento si su valor actual es de $304,50.


h) Suponiendo que el índice de precios al consumidor aumentó el 0,5% durante el último mes, calcular el valor que tenía un producto antes del aumento si su valor actual es de $3.015.
i) Se vende un artículo a $151,20. Si había tenido un recargo del 12% sobre el precio de compra, ¿cuál fue el precio de compra?


j) A una cantidad C se le aplica un incremento del 20%, y después otro del 10%. ¿Cuál es el porcentaje total incrementado?


k) Una cantidad C se incrementa en un 3%. Se obtiene $1.545. Calcular C.


l) Juan vendió un terreno, obteniendo el 20% de ganancia sobre el precio a que lo había comprado. Si el terreno se vendió en $ 25.608. ¿A qué precio lo había comprado Juan?


Respuestas:
a) 6720

b)50%

c)6600

d)12,36%

e) S . (1 + \frac{x}{\text{100}}) (1 + \frac{y}{\text{100}}) =

=S . (1 + \frac{y}{\text{100}}) (1 + \frac{x}{\text{100}})

f) 150

g) 300

h) 3.000
i) 135
j) 32%
k) 1500
l) 21.340


Actividad 6)

Ahora algo relacionado con la geometría (COMO DESAFÍO):

a) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un rectángulo si su base aumenta en un 10% y su altura en un 20%? ¿Y si esos mismos porcentajes fueran de disminución?


b) ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de un cubo si su arista aumenta en un 10%? ¿Y si ese porcentaje fuese de disminución?


Respuestas:

a) 32% si aumenta; 28%si disminuye.


b) 33,1% si aumenta; 27,1% si disminuye.


Los siguientes problemas (actividades 26 a 36) fueron extraídos de un material para escuela primaria, el desafío que te proponemos es que los resuelvas utilizando la menor cantidad de cuentas posible. Te sugerimos que los compartas en grupo y asi puedan observar cómo los piensan otros.


Actividad 7)

Un ciclista entrena 10 horas cada día del fin de semana. Si el fin de semana dura 48 horas; ¿Cuál es el porcentaje que dedica a entrenar?

Respuesta:

41,666666… %

Actividad 8)

Juana obtiene un 15% de comisión en ventas en su empleo de vendedora de electrodomésticos. ¿Cuánto tiene que vender si quiere tener una comisión de $600?

Respuesta:

$4000

Actividad 9)

Los García compraron un sofá que tenía un descuento del 30%. El precio original era de $750. Además le cargaron un 4% del precio al que se vendió por gastos de envío. ¿Cuál fue el costo real del sofá?

Respuesta:

$546

Actividad 10)

Jaime gana $1400 al mes. De esta cantidad 25% sirve para renta y el 20% para comida. ¿Cuánto se gasta en comida y renta en un año?

Respuesta:

$7560

Actividad 11)

En 1973 la gasolina costaba 0.40 por galón. En 1985 costaba $1,76 por galón. ¿En que porcentaje subió el precio?

Respuesta:

340%

Actividad 12)

El pasado trimestre, 60 estudiantes ingresaron a un curso de ciencias naturales. Este trimestre 40 estudiantes se han inscrito. ¿En que porcentaje bajó el número de estudiantes?

Respuesta:

33,333… %

Actividad 13)

Aproximadamente 75% del cuerpo de una persona está hecho de agua. Si una persona pesa 138 libras. ¿Cuál es el peso de agua que tiene?

Respuesta:

103,5 libras

Actividad 14)

Después de un aumento, el sueldo mensual de un empleado quedó en $972. Antes del aumento el sueldo era de $900 ¿En que porcentaje aumentó el salario?

Respuesta:

8%

Actividad 15)

Hay 20 árboles en línea sobre la Avenida de los Árboles. En el otoño 6 se pusieron amarillos, 5 rojos y el resto permaneció verde. ¿Qué porcentaje de árboles quedó verde?

Respuesta:

45%

Actividad 16)

Un empleado obtiene un 7% de comisión en ventas. La comisión de esta semana fue de $245 ¿Cuál fue el total de las ventas?

Respuesta:

$3500

Actividad 17)

La masa forestal de un bosque sufrió las siguientes variaciones a lo largo de tres décadas:

de 1950 a 1960 aumentó un 28%
de 1960 a 1970 disminuyó un 40%
de 1970 a 1980 aumentó un 15%

¿Qué variación porcentual experimentó de 1950 a 1980? (Si comprendiste bien todo lo que te hemos dicho debería alcanzarte con hacer tres cuentas de multiplicar y una de restar para poder responder)

Respuesta: 1,28 · 0,60 · 1,15 = 0,8832; 1 – 0,8832 = 0,1168

Disminuyó en un 11,68%

Actividad 18)

En un año el precio de un artículo sube un 40%, después baja un 10% y, por último, baja un 20% ¿Qué variación porcentual ha experimentado a lo largo del año?

Respuesta: 1,40 · 0,90 · 0,80 = 1,008

La variación porcentual a lo largo del año fue del 0,8%

Actividad 19)

Después de haber aumentado su valor un 40%, el precio de una heladera es de $1336. ¿Cuál era su precio antes del incremento?

Respuesta: $945,29

Actividad 20)

En una liquidación hemos comprado un cuadro por $105, una bicicleta por $50,40 y un libro por $16,35. ¿Cuánto nos habría costado en total antes de las rebajas si todos los artículos tienen disminuido su precio en un 30%?

Respuesta: En total $120,32

Actividad 21)

a) Calcular el porcentaje que representan las siguientes fracciones: 1/2, 1/4, 3/4, 9/10, 1/5, 5/2, 1/3, 7/6.

b) Expresar en forma de fracción (simple, que significa simplificada todo lo que se pueda) los siguientes porcentajes: 50%, 25%, 75%, 60%, 10%, 80%, 200%, 433,333…%

Respuesta: a) 50%, 25%, 75%, 90%, 20%, 250%, 33,33%, 116,67%

b) 1/2, 1/4, 3/4, 1/6, 1/10, 4/5, 2, 14/3.

Actividad 22)

En una zapatería, el precio del calzado se rebaja un 30%. Al mes, siguiente aumenta un 30% ¿Tiene ahora el mismo valor que antes de la rebaja? ¿Por qué?

Respuestas: No porque S · 0,70 · 1,30 = S · 0,91. Porque ahora tiene una rebaja del 9%


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