Operaciones con Números Racionales

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Suma y resta

Es importante que recuerdes “mecanismos” o también llamados “algoritmos” que te permitan realizar operaciones entre racionales. Seguramente te acostumbraste a usar la calculadora o bien tenés anotado en la página final del cuaderno cosas como:


Operaciones racionales 01.png


No creas que nos sentimos bien por el hecho que un estudiante de Ingeniería necesite recordar este “cuadrito” para poder responder a cálculos como:


\frac{1}{2}+\frac{2}{3};\,\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4} o bien \frac{4}{5}:\frac{7}{2} o tal vez \frac{a}{b}+\frac{c}{d}


Todo lo contrario. Debería saberlo por una cuestión simplemente conceptual básica.


Este tipo de cálculos deben saber resolverse en cualquier momento de la vida, independientemente de la historia educativa posterior a la educación obligatoria de cualquier persona. Diríamos más bien que aprender a resolver cálculos sencillos mentalmente o rápidamente con papel y lápiz constituye un derecho que debería conseguirse con dicha educación obligatoria, al igual que redactar una carta claramente o leer y comprender una noticia periodística.


Además, aunque no estudies una carrera relacionada con la matemática te aseguramos que si alguna vez tenés la dicha de que tu hijo o nieto de alrededor de los nueve años te pregunte: ¿por qué las fracciones se suman así? te sentirás muy mal si no podés contestarle y muy bien si juntos toman lápices, goma, tijera, regla, compás, papeles de colores, plastilina y sentís que podés orientarlo para que lo descubra, así te lleve la tarde entera de un domingo. Te aseguramos que te sentirás la más feliz de las personas y él también.


Supongamos que no recordás el algoritmo y que no tenés una calculadora a mano y necesitás realizar el cálculo:\frac{1}{2}+\frac{2}{3}. Quizá tenderías a sumar los numeradores entre sí y los denominadores también. Tu sentido común debería darte de inmediato una voz de alerta pues obtendrías \frac{3}{5} y dicho resultado es absurdo pues si sumás la mitad de un entero y las dos terceras partes de otro el resultado será mayor que 1 y \frac{3}{5} es menor que 1 ¿cierto?


Representemos gráficamente las fracciones a sumar tomando un rectángulo arbitrario como unidad:


Operaciones racionales 02.png


Es fácil darse cuenta de que el problema reside en que no podés sumar medios con tercios. También se ve naturalmente que sí pueden sumarse medios con medios, tercios con tercios, cuartos con cuartos, etc. Entonces pensemos que 1/2 es equivalente a 3/6 y que 2/3 es equivalente a 4/6


Por lo tanto sumar un medio más dos tercios equivale a sumar tres sextos más cuatro sextos o sea que el resultado será siete sextos:



Actividad 3)


Te sugerimos que te detengas en las equivalencias anteriores y en comprender muy bien lo que fuimos diciendo. Ahora te proponemos que realices dibujos análogos tomando un círculo arbitrario

como unidad (la idealización de una pizza) para el cálculo que acabamos de resolver y para los tres siguientes otros:

\frac{3}{5}+\frac{1}{2};\,\frac{3}{5}-\frac{1}{2};\,1+\frac{4}{5}


Somos concientes de que esta actividad corresponde a niños de unos nueve o diez años pero, excepto que sientas que lo tenés absolutamente claro como para explicarlo a un grupo de esos niños, te pedimos que no dejes de realizarla. En el año 2003 sobre una nuestra de 1179 alumnos que estaban terminando la escuela media sólo el 52% respondió (sin calculadora) correctamente al cálculo \frac{4}{3}+\frac{1}{2}.

La siguiente fórmula define la operación de suma y por consiguiente de resta, entre números racionales.

\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{\text{ad}\pm \text{bc}}{\text{bd}}


Observá cómo este modo de resolver sumas es compatible con el modo que estuvimos razonando antes con los gráficos.


\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{\text{ad}}{\text{bd}}\pm \frac{\text{bc}}{\text{bd}}



Aplicando la definición realicemos aquél cálculo


\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\,=\,\frac{1 \cdot 3+2\cdot2}{3 \cdot 3}\,=\,\frac{7}{6}



Quízá estés pensando “¡Qué fácil que resulta así!, yo ya lo sabía!” pero ¿durante cuánto tiempo recordarás este algoritmo? Además nos interesa (siempre que nos sea posible pues muchas veces la justificación de un algoritmo es extremadamente larga y difícil) que analices el porqué de ciertos algoritmos relacionados con cuestiones básicas.


Conclusión

Si las fracciones que queremos sumar tienen distinto denominador buscamos fracciones equivalentes a ellas, del mismo denominador, y luego sólo sumamos los numeradores.


Otro ejemplo sin dibujar:


\frac{3}{8}+\frac{5}{6}\,=\,\frac{9}{24}+\frac{20}{24}\,=\frac{29}{24}


Observá que 24 es un denominador común posible (el menor de todos los múltiplos comunes a los números 8 y 6) pero también se puede tomar el producto de ambos denominadores (mirá la definición), también 96 o 960, etc.
Operaciones racionales 03.png


Es importante que tengas claro cómo simplificar fracciones, el porqué de poder hacerlo y también cuándo te conviene.


Todo lo que dijimos para “resta de números enteros” sigue siendo válido en el conjunto de los números racionales.


Multiplicación y división

Para el producto entre racionales también tenemos una definición:


\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\,=\,\frac{a \cdot c}{b \cdot}
Por ejemplo:
\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}\,=\,\frac{10}{12} o su equivalente \frac{5}{6}
Ahora veamos cómo no es necesario recordar la definición (aunque de hecho con la práctica de cálculos la recordarás; pero seguramente, si no te dedicás a la matemática, con el tiempo las vas a olvidar)


Fijate que el cálculo anterior puede interpretarse (y leerse) como “las dos terceras partes del número cinco cuartos es diez doceavos o bien su equivalente, cinco sextos”


Veamos cómo lo podíamos haber resuelto si no conocíamos la definición de multiplicación entre fracciones:


Representemos gráficamente tomando como unidad al siguiente rectángulo:


Operaciones racionales 04.png


Comencemos con \frac{5}{4}


Operaciones racionales 05.png



Dado que debemos tomar terceras partes de cinco cuartos, debemos dividir en tres trozos iguales a cada uno de esos cuartos (cada uno de estos trocitos será un doceavos) Simplemente estamos pensando a \frac{5}{4} como \frac{\text{15}}{\text{12}}


Operaciones racionales 06.png


Luego debemos separar en tres partes (pues buscamos terceras partes)


Operaciones racionales 07.png
Y por fin tomando dos de ellas conseguiremos el resultado buscado: \frac{\text{10}}{\text{12}} que también puede escribirse como \frac{5}{6}.


Operaciones racionales 08.png


Quizá te estarás preguntando: ¿Para qué todo este lío si multiplicar fracciones es lo mas fácil: “multiplico derecho” y listo?


Te respondemos que estamos tratando de que pienses. De que conozcas el porqué de ciertas reglas que mecanizaste o mecanizarás. Te volvemos a pedir que te detengas, que analices todo lo que te decimos sin saltear nada, consultando a tus compañeros y si juntos no consiguen comprender pidan ayuda al docente. En el caso de la suma de fracciones de distinto denominador estamos seguros de que tus maestros te lo enseñaron; respecto de la multiplicación tal vez no.


Actividad 4)

¿Cuánto es dos quintos del número tres medios? Éste, por favor, hacelo como el que desarrollamos antes: con dibujos y paciencia.


Luego simplemente calculá:

Los dos quintos del número tres medios.

Los tres décimos de cinco octavos.

Los tres cuartos de dos.

Los dos quintos de los dos tercios de nueve cuartos.

La cuarta parte de tres.

El doble de un medio.

Los dos tercios del número a.

Los tres séptimos del número x.


Antes de hablar de división de racionales debemos hablar del concepto de inverso:
Para todo racional\frac{a}{b}\,\neq\,0 existe otro racional \frac{c}{d} tal que \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\,=\,1.
Ejemplo: el inverso de \frac{3}{4} es \frac{4}{3} pues \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3}\,=\,\frac{12}{12}\,=\,1
Otros ejemplos:

El inverso de \frac{5}{3} es \frac{3}{5}; El inverso de -\frac{20}{7} es -\frac{7}{20}

El inverso de \frac{1}{2} es 2; El inverso de 4 es \frac{1}{4}

El inverso de 1 es 1; El inverso de -1 es -1

El inverso de \frac{-3}{2} es -\frac{2}{3}; El inverso de \frac{-9}{-10} es \frac{10}{9}

El número 0 no posee inverso ¿Por qué?



Notación: Al inverso de un racional q, distinto de cero, suele simbolizárselo q-1 .
Dividir un racional \frac{a}{b} por otro \frac{c}{d}\,\neq\,0 significa multiplicar a \frac{a}{b} por el inverso de \frac{c}{d}
Es decir:


\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\,=\,\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}


Vamos a combinar las operaciones vistas:


Sumemos \frac{5}{3} al doble de \frac{7}{2}:


2\text{.}\frac{7}{2}+\frac{5}{3}=\frac{2}{1}\text{.}\frac{7}{2}+\frac{5}{3}=7+\frac{5}{3}=\frac{\text{21}}{3}+\frac{5}{3}=\frac{\text{26}}{3}


Ahora calcularemos el doble de la suma de \frac{5}{3}\,{\,}y\frac{7}{2}:


2\text{.}(\frac{5}{3}+\frac{7}{2})=2\left(\frac{\text{10}}{6}+\frac{\text{21}}{6}\right)=2\text{.}\frac{\text{31}}{6}=\frac{2}{1}\text{.}\frac{\text{31}}{6}=\frac{\text{62}}{6}=\frac{\text{31}}{3}


Otros ejemplos de “operaciones combinadas con racionales o expresiones algebraicas racionales”: (Te sugerimos copiarlas en un papel antes de mirar cómo están hechas para ver si te salen bien).

La mitad de cuatro quintos más las tres cuartas partes de un décimo (intentá calcular solo antes de seguir leyendo)

\frac{1}{2}\text{.}\frac{4}{5}+\frac{3}{4}\text{.}\frac{1}{\text{10}}=\frac{4}{\text{10}}+\frac{3}{\text{40}}=\frac{\text{16}}{\text{40}}+\frac{3}{\text{40}}=\frac{\text{19}}{\text{40}}
La tercera parte de un número desconocido (x) más las tres cuartas partes de otro número desconocido (y) (intentá escribir solo antes de seguir leyendo)
\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}y\,{\,}o\,{\,}\text{bien}\,{\,}\frac{x}{3}+\frac{3y}{4}=\frac{4x}{\text{12}}+\frac{9y}{\text{12}}=\frac{4x+9y}{\text{12}}


La cuarta parte de una cierta cantidad desconocida C más los dos tercios de lo que queda (intentá escribirlo y calcularlo antes de seguir leyendo)
\frac{1}{4}\text{.}C+\frac{2}{3}\frac{3}{4}C=\frac{1}{4}C+\frac{3}{\text{10}}C=\frac{\text{13}}{\text{40}}C
Actividad 5)


Realizar los siguientes cálculos sin usar la calculadora. Algunos son casi inmediatos. No te llevarán mucho tiempo. Es importante que no tengas dudas sobre este tipo de cálculos, no porque esté prohibida la calculadora sino porque esta “destreza” debe ser parte de tu formación básica.


a) \frac{7}{6}-\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\right)=

b) 3-\frac{\text{11}}{\text{12}}-\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=

c) 2\,{\,}\cdot \,{\,}\frac{1}{2}=

d) 5\,{\,}\cdot \,{\,}\frac{3}{5}=

e) \frac{8}{\text{15}}\,{\,}\mathrm{\colon }\,{\,}\frac{4}{5}=

f) {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}=

g) {\left(-\frac{4}{5}\right)}^{2}=

h) \frac{2}{3}\mathrm{\colon }5=

i) 0\,{\,}\mathrm{\colon }\,{\,}\frac{1}{2}=


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