Números Racionales (Q)

De Nexos UNLu
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Cuando tenías poca edad ya solías encontrarte con el problema de juntar dinero con un amigo y calcular para cuántos chocolatines les alcanzaba y la idea era repartirlos en partes iguales...


Luego, en la escuela, te habrán preguntado acerca de otra operación entre números: ¿Es siempre posible la división si sólo se conocen los números enteros? Y seguramente habrás contestado: No, pues, por ejemplo, 5 : 2 no es un número entero, quizá recordando aquellos viejos tiempos de las golosinas.

= Y ésta, sin duda, es una buena razón para ampliar este conjunto numérico: que la división sea siempre posible (con la única condición de que el divisor sea distinto de cero) ¿Por qué no tiene sentido dividir por cero?

Pero existe otra razón por la cual el hombre necesita otro tipo de números: con los naturales ya puede “contar”, pero no puede “medir”. Esto se debe a que para medir es necesario tener una gradación continua de magnitudes, y los números naturales presentan una gradación discreta.


Es decir, si queremos medir la longitud de un objeto que mide más de dos unidades, pero menos de tres, los números enteros no alcanzan para resolver adecuadamente el problema. Surge así la idea de extender el concepto de número entero.


El primer paso en esta dirección se da con las fracciones. Recordemos que una fracción se define como un par ordenado de números enteros con denominador (segundo elemento del par) no nulo, por ejemplo.
\frac{1}{2};\,{\,}-\frac{1}{5};\,{\,}\frac{2}{\text{78}};\,{\,}\frac{5}{-3};\,{\,}\frac{2}{4};\,{\,}\frac{3}{6};\,{\,}\frac{-5}{-\text{10}};\,{\,}\frac{5}{2};\,{\,}\text{etc}\text{.}


Representemos gráficamente algunas fracciones, como lo hacías de chico ¿te acordás?


Se usan rectángulos o círculos que representan la unidad (el número uno). Dicha unidad se divide en partes iguales (y en un mismo contexto las unidades deben ser idénticas): dos, tres, cuatro o cualquier número n finito de partes.


Se dice entonces que cada una de esas partes es la enésima parte del entero. Si n=2 cada parte se llama mitad, si n=3 cada parte se llama tercio o tercera parte, si n=4 cada parte se llama cuarto o cuarta parte, y así sucesivamente:
Racionales 01.png


Y así sucesivamente.


Si se desea señalar más de una de esas partes simplemente se indica en el numerador de la fracción cuántas de esas partes se toman:
Racionales 02.png
Veamos un ejemplo de fracción que es mayor a la unidad (suele llamársela fracción impropia)
Racionales 03.png


Observaremos ahora que hay fracciones distintas que representan la misma “porción” de entero (decimos “porción” entre comillas porque podría ser mayor que un entero, que dos o que cualquier número n, natural) Las llamaremos fracciones equivalentes y representan a un mismo número racional.


Por ejemplo: \frac{1}{2};\,{\,}\frac{2}{4};\,{\,}\frac{3}{6};\,{\,}\frac{4}{8};\,{\,}\text{etc}\text{.} son fracciones distintas. Quizá esto te parezca confuso porque representan a un único número racional, el “trozo” que estamos tomando evidentemente es el mismo, pudiendo usar cualquiera de ellas como representante de ese trozo. Pero las fracciones se dice que son equivalentes y no iguales porque el par de números que define a cada una es distinta (podés pensar en concreto que no es lo mismo tener un chocolate cortado en dos barritas que tener otro igual cortado en cuatro, aunque si tu amigo se come la mitad del primero y vos las dos cuartas partes del segundo, habrán comido la misma cantidad)
Racionales 04.png
Sin embargo, abusando de la notación, reemplazamos “es equivalente a” por igual. Por ello estamos acostumbrados a escribir:
Observá que sólo graficamos las fracciones en donde los enteros que forman parte de ellas son números positivos.
Sin embargo esta idea intuitiva de fracciones equivalentes se puede ampliar y formalizar un poco diciendo que :


Dos fracciones \frac{a}{b} y \frac{c}{d} son equivalentes, y por lo tanto representan al mismo número racional, cuando y solamente cuando a\,{\,}\cdot \,{\,}d=b\,{\,}\cdot \,{\,}c

Por ejemplo:
\begin{array}{c}\frac{5}{3}=\frac{\text{30}}{\text{18}}\,{\,}\text{porque}\,{\,}5\,{\,}\text{.}\,{\,}\text{18}=\,{\,}3\,{\,}\text{.}\,{\,}\text{30}\\ 
\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\,{\,}\text{porque}\,{\,}1\text{.}\,{\,}4\,{\,}=\,{\,}2\,{\,}\text{.}\,{\,}2\end{array}


Lo mismo decimos si ambos enteros son negativos. Por lo tanto podemos agregar a la lista de fracciones equivalentes a \frac{1}{2} las fracciones:

\frac{-1}{-2};\,\frac{-2}{-4};\,\frac{-5}{-10};\, porque 1\cdot(-2)\, =\, 2\cdot(-1);\, 1\cdot(-4)\, =\, 2\cdot(-2);\, 1\cdot(-10)\, =\, 2\cdot(-5);\, etc.

¿Y las fracciones en donde el denominador y el numerador tienen distinto signo?


Representan a las opuestas de las anteriores.


Por ejemplo: \frac{-1}{2} es una fracción equivalente a \frac{1}{-2}, resulta 1.2 = -2.(-1). Se suele colocar el signo menos delante de la barra de fracción: -\frac{1}{2} evidenciando, de este modo, que -\frac{1}{2} el racional opuesto de \frac{1}{2}. Otros ejemplos:

\frac{-2}{3} es el racional opuesto de \frac{2}{3}

\frac{10}{-3} es el racional opuesto de \frac{10}{3}; etc


Como ya sabés, los enteros pueden ser pensados como las fracciones en las que el numerador (primer elemento del par) es dicho entero y el denominador es el número uno o bien fracciones equivalentes. Por ejemplo:
3\,=\,\frac{3}{1}\,=\,\frac{-3}{-1}=\,\frac{6}{2}=\,\frac{120}{40}


Es decir, los números enteros son racionales particulares.


Simbólicamente presentamos al conjunto de números racionales:
Q=\left\lbrace \frac{a}{b}\,{\,}\text{con}\,{\,}a\,{\,}y\,{\,}b\,{\,}\in \,{\,}Z\,{\,}y\,{\,}b\ne 0\,{\,}\right\rbrace
¿Ya encontraste el porqué de la condición b\,\neq\,0


De aquí en adelante no aclararemos más que los denominadores deben ser distintos de cero.


Es importante que observes que podés contestar preguntas como:


¿Tiene este conjunto primer elemento?


¿Tiene este conjunto último elemento?


Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir qué elemento lo precede?


Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir qué elemento le sigue?


En el siguiente diagrama describimos la situación de inclusión entre conjuntos y colocamos algunos “representantes” de cada zona. Como ves los naturales son parte de los enteros, y éstos son parte de los racionales, o sea:
Racionales 05.png


También podemos graficar a los números racionales, aproximadamente, con cuidado y prolijidad, sobre la recta numérica:
Racionales 06.png
Actividad 2)


Puede servirte, depende del razonamiento que hagas, lo siguiente: \frac{a}{b}< \frac{c}{d}\,{\,}\text{sí}\,{\,}y\,{\,}\text{sólo}\,{\,}\text{sí}\,{\,}a\,{\,}\cdot \,{\,}d< b\,{\,}\cdot \,{\,}c\,{\,};\,{\,}\frac{a}{b}> \frac{c}{d}\,{\,}\text{sí}\,{\,}y\,{\,}\text{sólo}\,{\,}\text{sí}\,{\,}a\,{\,}\cdot \,{\,}d> b\,{\,}\cdot \,{\,}c;\,{\,}

en donde b y d deben ser ambos positivos o ambos negativos.

A) Escribir 4 fracciones equivalentes a \frac{5}{3}

B) Escribir 4 fracciones equivalentes a 0.

C) Escribir el opuesto de \frac{5}{3} y luego 4 fracciones equivalentes a dicho opuesto.

D) En una misma recta numérica representar, con bastante precisión, utilizando un tamaño conveniente para la unidad,  los siguientes números racionales: 0; 1; -3; \frac{1}{2}; \frac{5}{3}; -\frac{7}{2};\frac{7}{3}.

E) En otra recta representar a los opuestos de los números del ítem anterior.

F) Ordenar de menor a mayor los números\frac{2}{\text{10}};\,{\,}\frac{\text{100}}{\text{121}};\,{\,}\frac{2}{5};\frac{7}{2};\,{\,}\frac{8}{8};\,{\,}\frac{7}{4}.

G) Ordenar de menor a mayor los opuestos de los números del ejercicio anterior.


H) Colocar sobre los puntos suspensivos los números enteros SUCESIVOS para que cada una de las siguientes expresiones sea una proposición verdadera:

Racionales 07.png
Respuestas a la actividad 2

A) Como comprenderás aquí las posibilidades son infinitas, nosotros te daremos una respuesta posible:


\frac{10}{6} ; \frac{25}{15} ; \frac{-50}{-30} ; \frac{20}{12}


B) Aquí también las posibilidades son infinitas, nosotros te daremos una respuesta posible:

\frac{0}{\text{16}};\,{\,}\frac{0}{\text{135}};\,{\,}\frac{0}{-\text{30}};\,{\,}\frac{0}{1}


Observá que una fracción es cero (o representa al número cero) cuando y solamente cuando su numerador es cero. Por supuesto que su denominador debe ser distinto de cero, de lo contrario no sería una fracción ni ningún objeto matemático: las expresiones como


\frac{8}{0},\,{\,}\frac{0}{0};\,{\,}\frac{-2}{0} tienen, en matemática, el mismo significado que Racionales respuestas-000.png o sea: ¡NINGUNO!

En ciertos contextos especiales relacionados con el tema límite, pueden tener significado, pero con fuertes aclaraciones previas.


C) El opuesto de \frac{5}{3} ~\text{es}~ -\frac{5}{3}

Con respecto a las fracciones equivalentes, como ya sabés son infinitas, te escribimos una solución posible

-\frac{50}{30} = \frac{-10}{6} = \frac{15}{-9} = -\frac{35}{21}


D)


Racionales respuestas-001.png


E) Es claro que los opuestos de 0; 1 y -3 han quedado representados al dibujar la zona de la recta entre los enteros que están entre los números que se solicita graficar: 0; -1 y 3. Agregamos los opuestos de las fracciones:


Racionales respuestas-002.png




F) \frac{2}{10} < \frac{2}{5} <  \frac{100}{121} <  \frac{8}{8} <  \frac{7}{4} <  \frac{7}{2}

G) -\frac{7}{2} < -\frac{7}{4} < - \frac{8}{8} <  -\frac{100}{121} < - \frac{2}{5} < - \frac{2}{10}

H) a) 1 < \frac{5}{3} < 2 b) 0 < \frac{1}{3} < 1
 c) 5 < \frac{17}{3} < 6 d) -6 < -\frac{17}{3} < -5