Números Enteros (Z)

De Nexos UNLu
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Cuando tenías alrededor de doce años, probablemente, te plantearon el problema siguiente: ¿Será posible resolver cualquier resta entre números naturales? Y respondiste que no, en el caso en que el minuendo sea menor que el sustraendo. Por ejemplo: 4 – 7; 20 – 30, etc.

Hasta ese momento te habían dicho que no se podía resolver (en realidad vos aún no podías). Así es como comenzaron a hablarte de los enteros negativos. Quizá relacionándolos c con “años antes de Cristo”, “alturas bajo el nivel del mar” o con “deudas de dinero”.

Te recordamos algunas situaciones que quizá te propusieron en aquellos tiempos:

  • Si estás en un ascensor, en el quinto piso, y el ascensor baja 8 pisos ¿en qué piso estarás ahora?
Este problemita puede expresarse y responderse con la cuenta:
5-8=-3 O sea que estás en el tercer subsuelo.
  • Si debo 50 pesos y pago 30 ¿cómo queda mi situación respecto de la deuda original?

-50+30 = -20 O sea que mi situación será que debo 20 pesos.
  • Juan suele prestarme dinero, ya le debo 10 pesos y ahora me prestará 35 más ¿cuánto le deberé en total?

-10-35=-45
  • A mi equipo de fútbol le hicieron tres goles en el primer tiempo y nosotros ninguno, pero en el segundo pudimos hacer cuatro y ellos ni siquiera uno. Ganamos entonces por un gol:
-3 +4 = 1
Y seguramente otras que estarás recordando. Se suele decir que los enteros negativos:
\{..., -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1\}
son los opuestos de los enteros positivos o naturales. ( Y viceversa) Por ejemplo:
El opuesto de 4 es – 4.
El opuesto de –20 es 20.
No existe problema si te gusta poner delante de los naturales un signo +, de tal manera de escribir, por ejemplo, la frase anterior así: el opuesto de -20 es +20, pero debés acostumbrarte a hacerlo sólo en los casos en que te surjan dudas. Suele simbolizarse a los números enteros así:
Z = \{..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}

Ellos son, entonces: los naturales, sus opuestos y el cero.

Es importante que observes que podés contestar fácilmente preguntas como:
¿Tiene este conjunto primer elemento?
¿Tiene este conjunto último elemento?
Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir qué elemento lo precede?
Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir qué elemento le sigue?
Es bueno que visualices al conjunto de los números enteros sobre una recta horizontal.

Recta numérica.png

Sobre ella podés pensar que las sumas son “avances”  y las restas “retrocesos”.

            En este esquema de un termómetro están  diferenciadas con distintos tonos las zonas a las temperaturas que están por encima del cero  y las que corresponden a las temperaturas bajo cero  por debajo. La temperatura  0 es la frontera entre ambas partes.

Termómetro.png

¡La resta es una suma!

En realidad la resta, en el conjunto de los números enteros, no es una nueva operación, sino que restar es sumar el opuesto.

Por lo tanto lo que vos pensabas, por ejemplo,  como  8 – 5  podés pensarlo y escribirlo como

8 + (– 5).

En general:                                  a – b = a + (– b)

Fijate que los paréntesis sólo son para no dar lugar a confusión, para separar los dos signos.

Además pensá que el opuesto del opuesto de un número es dicho número. En símbolos esto puede expresarse así:

– (– a) = a

siendo a  un número entero (positivo, negativo o hasta el propio cero).

¡No pienses que “a”es positivo porque

no tiene un signo menos delante!

Es un grave error que suelen cometer muchos alumnos.

Ejemplos:

Si a = 4 entonces – (– 4) = 4   (el opuesto del opuesto de 4 es 4)

Si a = –7 entonces –(–(–7)) = –7    (el opuesto del opuesto de –7 es –7

Observá que:

·        El único número que es igual a su opuesto es el cero:  0 = - 0

·        Un número cualquiera más su opuesto da cero: a + (- a ) = 0.

Por ejemplo:

4 + (– 4)  = 0

– 20 + 20 = 0

Como seguramente sabés, para la multiplicación y para la división podés utilizar la llamada “regla de los signos”. Consultá libros de la biblioteca de tu colegio o de la tuya. Leé acerca de la potenciación y acerca de la radicación en Z o bien pedile a tu docente que te sugiera qué hacer si sentís que no tenés claras estas operaciones y algunas combinaciones -simples- de las mismas, como por ejemplo:

Actividad 1)


  1. Encontrar el resultado de los siguiente cálculos, se sugiere no usar calculadora.


Ejercicios numeros enteros-000.png
B) Ordenar de menor a mayor, en los casilleros de la derecha, los siguientes números enteros: 8, - 4, - 8, 2, 20, - 20


Respuestas a la Actividad 1)

A)


-13 3
-20 900
100 0
3 -1
-17 10
-16 -11
-27 64
1 1024
-1 -243
12 1


B)


- 20 - 8 - 4 2 8 20

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