Funciones Polinómicas de grado mayor que dos

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FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE DOS


Hasta aquí hemos estudiado funciones cuyas gráficas resultan totalmente “predecibles”. Ellas son:

1) la función constante (grado 0) Te recordamos que a la función constante f(x)=0 no le atribuimos grado.

2) la función lineal (grado 1) y

3) la función cuadrática (grado 2). Cualesquiera sean las formas en las que nos son presentadas podemos esbozar sus gráficas con precisión y sin mayores dificultades.


Ahora comenzaremos el estudio de las funciones polinómicas de grado mayor a dos. Te adelantamos que sólo lo haremos con algunas de ellas y no de un modo completo como hemos trabajado con las anteriores. En la asignatura siguiente se ampliarán un poco más tus conocimientos para poder graficarlas con mayor precisión, pero insistimos, sólo en algunos casos. En otros, si lo necesitás, deberás recurrir a un esbozo aproximado que te dará algún graficador que tengas en tu PC.


Para que comprendas mejor: si escribís cualquier función polinómica de las estudiadas hasta ahora podrás conocer un esbozo preciso de la misma muy rápidamente. En cambio cuando terminemos de estudiar este tema sólo podrás esbozar, y no con mucha precisión, algunas de ellas que nosotros te propondremos.


Las funciones polinómicas son continuas(Por ahora sólo pretendemos que tengas una idea intuitiva de “continuidad”. Diremos simplemente que una función es continua cuando, para esbozarla no necesitás levantar el lápiz del papel)

Además se dice que su dominio(Cuando hablamos de dominio sin aclarar nada más nos referimos al más amplio posible)

de definición es el conjunto de los números reales, ya que las operaciones que la definen no tienen restricciones.


Daremos una definición de función polinómica que te resultará, al principio, algo complicada pero que rápidamente comprenderás.

Una función polinómica es del tipo:


P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0</div>


Si an es distinto de cero, se trata de una función polinómica de grado n.

Los números an , an-1 , an-2 ... a2 , a1 , a0 se llaman coeficientes de la función y son números reales. an recibe el nombre de coeficiente principal. Cuando el mismo vale 1 o 1 diremos que el polinomio es mónico.


Colocaremos algunos ejemplos para que comprendas la expresión de P(x) que colocamos más arriba.

Polinomio Coeficientes Grado ¿Es mónico?
3x2 0,5x + \sqrt{2} a2 = 3; a1 = – 0,5 ; a0 = \sqrt{2}

Son los que llamábamos a, b y c en la función de segundo grado.

2 No pues a2 = 3
\frac{3}{2}{x}^{3}-x-7 a3 = \frac{3}{2}; a2 = 0; a1 = – 1 ; a0 = – 7 3 No pues a3 = \frac{3}{2}
-{x}^{6}+\mathrm{0,3}{x}^{5}-\frac{1}{2}{x}^{4}-2x a6 = - 1; a5 = 0,3; a4 = -\frac{1}{2}; a3 = 0; a2 = 0; a1 = – 2; a0 = 0 6 Sí pues a6 = – 1
4x – 6 a1 = 4; a0 = – 6

Son los que llamábamos m y b en la función de primer grado.

1 No pues a1 = 4
0 a0 = 0 No tiene No pues a0 = 0
12 a0 = – 12 0 No pues

a0 = –12

5x – 6x3 + x2 a3 = – 6 ; a2 = 1; a1 = 5; a0 = 0 3 No pues

a3 = – 6

Consideramos conocidas de la escuela media, las operaciones de suma, resta, multiplicación, división de polinomios y también la factorización de polinomios. Si no las recordás o te sentís inseguro podés recurrir a algún tutorial. Hacé hincapié en división con dividendo del tipo x-a y en factorización.


Sin embargo recordaremos lo siguiente:


Dividir un polinomio (Utilizaremos indistintamente polinomio o función polinómica) P(x) (dividendo) por otro D(x) (divisor), con D(x) no nulo, es encontrar otros dos polinomios Q(x) (cociente), y R(x) (resto) que verifiquen:


P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)
gr R(x) < gr D(x) o R(x) es el polinomio nulo


Se puede demostrar que estos dos polinomios Q(x) y R(x) son únicos. Nosotros no lo haremos.


Actividad 1

Hallar el cociente y el resto de dividir:

{x}^{7}+3{x}^{6}+2{x}^{3}-3{x}^{2}-x+1\,{\,}\text{por}\,{\,}{x}^{4}-x+1

Respuesta:

Cociente: {x}^{3}+3{x}^{2}+1

Resto: 0


Teorema del resto


El teorema del restonos permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x) por otro de la forma \left(x-a\right). Se deduce, muy simplemente, este teorema partir de la idea de división definida unos renglones antes:


Si se tiene un polinomio P(x) (dividendo) y otro D(x) (divisor), con D(x) = \left(x-a\right) su resto será un número real (dado el grado de D(x)).

r




A partir de este algoritmo se ve claramente la siguiente identidad:


P(x) = Q(x) · \left(x-a\right) + r

Si ahora especificamos esta igualdad en x=a obtenemos:

P(a) = r


Expresemos el teorema del resto sin utilizar simbología: Dado un polinomio dividendo: P(x) y uno divisor de la forma x-asi reemplazamos el valor de a en P(x) obtendremos un valor numérico que es el del resto de la división de P(x) por x-a. (Recordá siempre que si el dividendo fuese, por ejemplo:

x + 3 lo podés pensar como x – (–3) de donde a = –3)


Definición

Un número r es raíz de una función polinómica si y sólo si P(r) = 0.


Ejemplo referido a la definición anterior:

El polinomio P(x) = x4 + 3x3 –19 x2 – 27x + 90 tiene laraíz x = 2 pues

p(2) = 24 + 3·23 – 19·22 – 27·2 + 90 = 0


Teorema del factor de primer grado

Un polinomio tiene la raíz r cuando y sólo cuando tiene el factor de primer grado (x – r).


En el caso anterior querrá decir que el polinomio p(x) = x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90

tiene el factor (x – 2) lo que significa que dicho polinomio será divisible por (x – 2). Te invitamos a que compruebes entonces que el resto de la división es cero y que por lo tanto el polinomio p(x) = x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 puede escribirse:

p(x) = (x – 2) (x3 + 5x2 – 9x – 45) Expresando así al polinomio se ve más rápidamente el hecho que p(2) = 0 ¿cierto? Claro, al anularse el primer factor, para x = 2 se anula p(x). No hace falta realizar la cuenta dentro del segundo paréntesis.


Relacionando con lo que aprendiste acerca de la función lineal y de la función cuadrática ¿es verdad que la gráfica de este polinomio tiene una intersección con el eje de las abscisas en el punto (2, 0)? ¿Por qué?

¿En qué punto este polinomio cortará al eje de las ordenadas? No sigas leyendo sin responder antes.


Supongamos ahora que alguien se da cuenta de que 3 es raíz de x3 + 5x2 – 9x – 45. Comprobá vos que es cierto.


Nota: Existe un teorema, que en algunos casos te puede resultar útil, que dice lo siguiente:

Si un polinomio es mónico y de coeficientes enteros las eventuales raíces racionales son enteras y son divisores del término independiente (ao)


Continuemos con el ejercicio:

Por el teorema del factor de primer grado polinomio x3 + 5x2 – 9x – 45 será divisible por (x – 3) por lo tanto podrá escribirse:

x3 + 5x2 – 9x – 45 = (x – 3) ( x2 + 8x + 15) De donde el polinomio original podrá expresarse:

p(x) = x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 = (x – 2) (x – 3) ( x2 + 8x + 15) Bajo este aspecto queda claro que 3 también es raíz del polinomio de cuarto grado. Luego p(x) se anula cuado x = 2 ó cuando x = 3 o cuando x2 + 8x + 15 = 0. Pero nosotros sabemos que esta ecuación de segundo grado puede que tenga dos, una o ninguna solución. Veamos:

x=\frac{-8\pm \sqrt{\text{64}\,{\,}-\text{60}}}{2}=\frac{-8\pm 2}{2}=



O sea que hemos encontrado otros dos valores que anulan al polinomio dado, aplicado a ellos el teorema del factor obtendremos:


x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 = (x – 2) (x – 3) ( x –(– 3)) ( x –(– 5)) por fin:


p(x) = (x – 2) (x – 3) (x + 3) (x + 5)


Nota: En esta última parte estamos aplicando algo conocido por vos: Si el polinomio ax2 + bx + c tiene las raíces reales x1 y x2 entonces ax2 + bx + c = a(x - x1) (x – x2). Y también observá que este teorema es el primer “antecedente” que conocés del teorema del factor de primer grado.


Intentaremos ahora realizar un esbozo aproximado de esta función con la información con la que contamos y con alguna otra que trataremos de pensar:


1) Esta función corta al eje de las ordenadas (cuando x=0, como ya hemos visto en las funciones de primero y segundo grado) o sea en

(0 – 2) · (0 – 3 ) · (0 + 3) · (0 + 5) = 90 (observá que también lo podés verlo, sin hacer tantas cuentas en la expresión no factorizada de p(x): x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90)


2) Esta función corta al eje de las abscisas cuando y = p(x) = 0. Aquí tenés que ver la gran diferencia que implica tratar de resolver este problema cuando el mismo está expresado así

x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 = 0

que preguntarse por este problema cuando el mismo está expresado así

(x – 2) (x – 3) (x + 3) (x + 5) = 0,

aunque se trate del mismo problema.


Todo lo que hemos trabajado hasta aquí factorizando al polimonio fue para poder responder en forma inmediata cuándo p(x) se anula (que equivale a preguntarse cuándo corta al eje de las abscisas o cuáles son sus raíces)


Grafiquemos la información obtenida hasta aquí:

Prueba polinomicas-000.png

Para realizar un esbozo aproximado determinaremos en cuáles de las cinco zonas en las que quedó dividido el eje x la función es positiva y en cuáles es negativa (o sea en cuáles está por encima del eje de las abscisas y en cuáles por debajo). Para ello enunciaremos el llamado Teorema de Bolzano.


El teorema afirma que si una función es continua (en un intervalo cerrado y acotado) y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.


En palabras más intuitivas, lo que dice el teorema de Bolzano es lo siguiente:

Suponiendo que el lápiz debe ir desde cualquier punto del primero o segundo cuadrantes a cualquiera del tercero o cuarto (o viceversa) sin levantarse del papel deberá atravesar, al menos una vez el eje de las abscisas.


En el caso que estamos analizando tenemos la seguridad de que toma valor cero (se intercepta con el eje de las x) sólo en cuatro puntos: - 5, - 3, 2 y 3.


Los cinco intervalos en que queda dividido entonces en eje de las abscisas son:

\left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\right),\,{\,}\left(-5,\,{\,}-3\right),\,{\,}\left(-3,\,{\,}2\right),\,{\,}\left(2,\,{\,}3\right),\,{\,}\left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)


En toda la longitud de cada uno de ellos estará por encima o por debajo del eje x.


Ahora bien, si realizamos una tabla de valores para cualquier punto de cada uno de esos intervalos, el signo que obtengamos para p(x) será el mismo en todos los puntos de dicho intervalo (analizá con atención esta afirmación, es muy importante que la comprendas).

x p(x)
–100 En realidad no nos interesa el valor sino sólo si el resultado es positivo o negativo. Eso con la expresión

(x – 2) (x – 3) (x + 3) (x + 5) resulta muy simple en todos los casos. Aquí se ve de inmediato que al reemplazar la x por el número – 100 se obtiene el producto de cuatro números negativos por lo que el resultado será positivo.

–4 Aquí nos quedan (al reemplazar la x por el número –4) los tres primeros factores negativos y el último positivo por lo el producto de los cuatro será negativo.
0 Aquí ya sabemos que da 90, que es positivo.
2,3 Acá quedará positivo por negativo por positivo por positivo o sea negativo.
100 Aquí quedará el producto de cuatro factores positivos por eso el resultado será positivo.

En resumen:

Prueba polinomicas-001.png

Ahora si volcamos toda esta información en el esbozo que estábamos tratando de realizar obtendremos:

Prueba polinomicas-002.png

Lo cual nos permite afirmar que:# x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 = 0 \Leftrightarrow x = – 5 ó x = – 3 ó x = 2 ó x = 3

  1. x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 > 0 \Leftrightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\right)\cup \left(-3,\,{\,}2\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
  2. x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 0\,{\,}\Leftrightarrow \,{\,}x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\rbrack \cup \left\lbrack -3,\,{\,}2\right\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
  3. x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 < 0 \Leftrightarrow x\in \left(-5,\,{\,}3\right)\cup \left(2,\,{\,}3\right)
  4. x4 + 3x3 – 19 x2 – 27x + 90 0\Leftrightarrow x\in \left\lbrack -5,\,{\,}3\right\rbrack \cup \left\lbrack 2,\,{\,}3\right\rbrack



En clase, trataremos de que comprendas INTUITIVAMENTE el por qué de las siguientes afirmaciones:

Grado del polinomio Polinomio Límite de dicho polinomio Signo del coeficiente principal Resultado del límite
PAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow +\mathrm{\infty }\end{array}

Positivo

+\mathrm{\infty }
PAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow -\mathrm{\infty }\end{array}

Positivo

+\mathrm{\infty }

NOTA: Con respecto a la utilización de la palabra límite con la naturalidad con que se hace aquí haga que más de un matemático (yo no lo soy) “se espante”” por la ¿“audacia”? con que este usamos este término “casi sagrado”. En la enseñanza de la matemática se ha hecho de esta palabra algo así como una “prohibición” hasta que se considere que el alumno está preparado para comprender precisamente lo que quiere decirse y en los distintos casos que sabemos se presentan. Un día, en el último año de la escuela media o en el primero de la Universidad se llena el pizarrón de definiciones muy complicadas hacia las cuales el educando no ha tenido una aproximación intuitiva. Más de un colega, con una sólida formación matemática, ha reconocido públicamente que luego de muchos años de “enseñarlo” terminó de comprender dicho concepto.

Nos preguntamos si desde la didáctica de la matemática es correcta esta actitud.

¿Los “objetos matemáticos que se definen con la palabra LÍMITE” no poseen aproximaciones intuitivas que podrían ayudar a reducir las dificultades en la comprensión de los mismos, cuando éstos deban ser definidos? ¿Las hemos buscado y las hemos introducido lo antes posible en el pensamiento de nuestros alumnos?

Cuando veo a mi nietita de casi seis años discutir conmigo acerca de si una figura geométrica es un cuadrado o un rectángulo me pregunto si debería “prohibir” alguna de esas palabras. El cuadrado es un rectángulo especial. Sin embargo, en este momento de su formación es más importante que vea la diferencia y no la similitud. Quede para el lector las consideraciones y discusiones que considere pertinentes.

Grado del polinomio Polinomio Límite de dicho polinomio Signo del coeficiente principal Resultado del límite
PAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow +\mathrm{\infty }\end{array}

Negativo

-\mathrm{\infty }
PAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow -\mathrm{\infty }\end{array}

Negativo

-\mathrm{\infty }

Si los siguientes esquemas donde sólo está esbozado qué pasa cuando la variable independiente toma valores “MUY” grandes en valor absoluto (negativos y positivos) son de funciones polinómicas entonces tenemos la seguridad de que ambas son de grado par. La primera con coeficiente principal positivo, la segunda con coeficiente natural negativo (relacionar con las funciones {x}^{2}\,{\,}y\,{\,}-{x}^{2})

Prueba polinomicas-003.png

Grado del polinomio Polinomio Límite de dicho polinomio Signo del coeficiente principal Resultado del límite
IMPAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow +\mathrm{\infty }\end{array}

Positivo

+\mathrm{\infty }
IMPAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow -\mathrm{\infty }\end{array}

Positivo

-\mathrm{\infty }
Grado del polinomio Polinomio Límite de dicho polinomio Signo del coeficiente principal Resultado del límite
IMPAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow +\mathrm{\infty }\end{array}

Negativo

-\mathrm{\infty }
IMPAR {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+{a}_{1}x+{a}_{0} \begin{array}{c}\text{lim}\left({a}_{n}{x}^{n}\right)\\ 
x\rightarrow -\mathrm{\infty }\end{array}

Negativo

+\mathrm{\infty }

Prueba polinomicas-004.png

Si en cambio si se tratase de una función polinómicas de grado impar La primera con coeficiente principal positivo, la segunda con coeficiente natural negativo (relacionar con las funciones x\,{\,}y\,{\,}-x)





Actividad 2

De acuerdo a lo anteriormente explicado responder si el grado de la función polinómica que se esboza es par o impar, cuál es el signo del coeficiente principal y el mínimo grado que podría tener.

a)

Prueba polinomicas-005.png Respuesta

a) IMPAR NEGATIVO 3

b)

Prueba polinomicas-006.png Respuesta

b) IMPAR POSITIVO 3

c)

Prueba polinomicas-007.png Respuesta

c) PAR POSITIVO 2

d)

Es probable que para responder con seguridad a esta necesites leer un poco más.

Prueba polinomicas-008.png Respuesta

d) IMPAR POSITIVO 6

e)

Prueba polinomicas-009.png Respuesta

e) PAR NEGATIVO 4

f)

Prueba polinomicas-010.png Respuesta

f) IMPAR NEGATIVO 3

g)


Prueba polinomicas-011.png Respuesta

g) IMPAR NEGATIVO 5

h)

Prueba polinomicas-012.png Respuesta

h) PAR POSITIVO 4

Multiplicidad de las raíces

Cuando desarrollamos el tema de la función cuadrática habrás podido apreciar que hay casos donde la parábola tiene sólo un punto en común con el eje de las abscisas: (para recordarlo graficá las siguientes)

a) f(x) = x2

b) g(x) = – x2

c) m(x) = (x – 1)2

d) n(x) = –x2 –4x – 4

Observemos que estas funciones resultan siempre positivas o siempre negativas, excepto para ese valor en que se contactan con el eje de las abscisas ¿por qué?

Supongamos ahora que a la función de segundo grado m(x) = (x – 1)2 la multiplicamos por

(x – 3), obteniendo así la función de tercer grado: f(x) = (x – 1)2(x – 3), que, como ya sabés si calculás los límites en más y en menos infinito obtendrás el siguiente primer esquema:


Prueba polinomicas-013.png

Si completamos el esbozo colocando las intersecciones con los ejes y aplicando el teorema de Bolzano obtendremos:


Prueba polinomicas-014.png

Ahora bien ¿te parece “casual” que en x = 1 se vuelva a producir un punto de contacto (se suele decir de “rebote”) y no de corte con eje de las abscisas?

No es casual, si pensás en el teorema de Bolzano, el hecho que el factor (x – 1) esté elevado al cuadrado (a un exponente par) hace que el signo de la función para valores de x “cercanos” a 1, tanto menores como mayores, hagan que el signo de f(x) (en este caso negativo) no cambie.


Para que observes que no pasa lo mismo si el exponente es impar te invitamos a realizar el esbozo de:

f(x) = (x – 1)3 y luego de g (x) = x (x – 1)3

En ambos casos x = 1 será un punto de corte (y no de rebote) pues tanto en una como en la otra si le damos valores “cercanos” a 1, ocurrirá que si ese valor se acerca por izquierda (pensemos en 0,8) al elevar al cubo obtendremos el mismo signo de la base (negativo) en cambio si x se acerca a 1 por la derecha (pensemos en 1,2) al elevar al cubo obtendremos el mismo signo de la base (positivo). Al cambiar de signo entonces resultará que x=1 es un corte y no un rebote, como en el caso anterior.


Por último, y para sacar una conclusión final graficá:

f(x) = (x – 1)4

g (x) = x2 (x – 1)2


Te recordamos que este material es una guía para las clases, con tu docente podrán poner más ejemplos y discutir, si no comprendés, lo que acabamos de decirte. Sobre todo a partir de ahora habrá temas en que tendrás que preguntar más y consultar otros materiales.


Va la conclusión:

Si un factor de primer grado está repetido un número par de veces en la factorización de una función polinómica la raíz a la que da lugar resulta un punto de rebote con el eje de las abscisas, si en cambio está repetido un número impar de veces será un punto de corte. La cantidad de veces en que está repetido (grado al que está elevado) se denomina multiplicidad de la raíz.


Ahora te propondremos algunos ejercicios para que apliques todos los conceptos aprendidos hasta aquí.


Actividad 3

A partir de de lo aprendido hasta aquí, realizar los esbozos aproximados de las siguientes funciones y luego resolver las ecuaciones e inecuaciones propuestas:

a) f(x) =\left(x-3\right)\left(x+5\right)

\left(x-3\right)\left(x+5\right)=0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)> 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)< 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\le 0\,{\,}\Leftrightarrow
Respuestas
a) \left(x-3\right)\left(x+5\right)=0\,{\,}\Leftrightarrow x=-5\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
\left(x-3\right)\left(x+5\right)> 0\,{\,}\Leftrightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
\left(x-3\right)\left(x+5\right)< 0\,{\,}\Leftrightarrow x\in \left(-5,\,{\,}3\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\le 0\,{\,}\Leftrightarrow x\in \left\lbrack \mathrm{3,5}\right\rbrack
Prueba polinomicas-015.png |-
b) f(x) = \left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)=0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)> 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)< 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\le 0\,{\,}\Leftrightarrow
Respuestas:
b)\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)=0\,{\,}\Leftrightarrow Error al representar (función desconocida «\textasciiacute»): x=-5\,{\,}\textasciiacute o\,{\,}x=-3\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)> 0\,{\,}\Leftrightarrow x\in \left(-5,\,{\,}-3\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left\lbrack -5,\,{\,}-3\right\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)< 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\right)\cup \left(-3,\,{\,}-3\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\le 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\rbrack \cup \left\lbrack -3,\,{\,}-3\right\rbrack
Prueba polinomicas-016.png |-
c) f(x) =-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)=0\,{\,}\Leftrightarrow
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)> 0\,{\,}\Leftrightarrow
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)< 0\,{\,}\Leftrightarrow
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\le 0\,{\,}\Leftrightarrow
Respuestas:
c) -\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)=0\,{\,}\Leftrightarrow \,{\,}x=-5\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=\,{\,}-3\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)> 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\right)\cup \left(-3,\,{\,}3\right)
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\rbrack \cup \left\lbrack -3,\,{\,}3\right\rbrack
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)< 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(-5,\,{\,}-3\right)\cup \left(3\text{.}\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
-\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\le 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left\lbrack -\mathrm{5,}-3\right\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
Prueba polinomicas-017.png |-
d) f(x) =\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}=0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}> 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}< 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\le 0\,{\,}\Leftrightarrow
Respuestas:
d)\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}=0\,{\,}\Leftrightarrow \,{\,}x=-5\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=\,{\,}-3\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}> 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\right)\cup \left(-3,\,{\,}3\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\rbrack \cup \left\lbrack -3,\,{\,}3\right\rbrack
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}< 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(-5,\,{\,}-3\right)\cup \left(-3,\,{\,}3\right)
\left(x-3\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\le 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left\lbrack -5,\,{\,}3\right\rbrack
Prueba polinomicas-018.png |-
e) f(x) =\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}=0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}> 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}< 0\,{\,}\Leftrightarrow
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\le 0\,{\,}\Leftrightarrow
Respuestas:
e) \left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}=0\,{\,}\Leftrightarrow \,{\,}x=-5\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=\,{\,}-3\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}> 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(\,{\,}-5,\,{\,}-3\right)\cup \left(-3,\,{\,}3\right)
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left\lbrack -5,\,{\,}-3\right\rbrack
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}< 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}\left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-\mathrm{5,}\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
\left(3-x\right)\left(x+5\right){\left(x+3\right)}^{2}\le 0\,{\,}\Leftrightarrow \begin{array}{c}x\in \\ 
\end{array}(-\mathrm{\infty },\,{\,}-5\rbrack \cup \left\lbrack -3,\,{\,}-3\right\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
Prueba polinomicas-019.png |-
f) f(x) ={x}^{3}-5{x}^{2}+6x\,{\,}
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\,{\,}=0\Leftrightarrow \,{\,}
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\,{\,}> \,{\,}0\,{\,}\Leftrightarrow \,{\,}
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\,{\,}\ge 0\Leftrightarrow \,{\,}
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\,{\,}< 0\Leftrightarrow \,{\,}
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\,{\,}\le 0\Leftrightarrow \,{\,}
Respuestas:
f){x}^{3}-5{x}^{2}+6x=0\,{\,}\Leftrightarrow x\left({x}^{2}-5x+6\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow x=0\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=2\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x> 0\Leftrightarrow x\left({x}^{2}-5x+6\right)> 0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-3\right)> 0\Leftrightarrow x\in \left(0,\,{\,}2\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\ge 0\Leftrightarrow x\left({x}^{2}-5x+6\right)\ge 0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-3\right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left\lbrack 0,\,{\,}2\right\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x< 0\Leftrightarrow x\left({x}^{2}-5x+6\right)< 0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-3\right)< 0\Leftrightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}0\right)\cup \left(2,\,{\,}3\right)
{x}^{3}-5{x}^{2}+6x\le 0\Leftrightarrow x\left({x}^{2}-5x+6\right)\le 0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le 0 \Leftrightarrow x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}0\rbrack \cup \left\lbrack 2,\,{\,}3\right\rbrack
Prueba polinomicas-020.png |-
g) f(x) ={x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}
{x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}=0\,{\,}\Leftrightarrow
{x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}0\Leftrightarrow
{x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}0\Leftrightarrow
{x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}0\Leftrightarrow
{x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}0\Leftrightarrow
Respuestas:
g) {x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2}=0\,{\,}\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-2\right)(x-3)=0\Leftrightarrow x=0\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=2\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
{x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2}> 0\,{\,}\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-2\right)(x-3)> 0\Leftrightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}0\right)\cup \left(0,\,{\,}2\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
{x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2}\ge 0\,{\,}\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-2\right)(x-3)\ge 0\Leftrightarrow x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}2\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
{x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2}< 0\,{\,}\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-2\right)(x-3)< 0\Leftrightarrow x\in \left(2,\,{\,}3\right)
{x}^{4}-5{x}^{3}+6{x}^{2}\le 0\,{\,}\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-2\right)(x-3)\le 0\Leftrightarrow x\in \left\lbrack 2,\,{\,}3\right\rbrack
Prueba polinomicas-021.png |-
h) f(x) = {x}^{4}+5{x}^{2}+6
{x}^{4}+5{x}^{2}+6\,{\,}=0\,{\,}\Leftrightarrow
{x}^{4}+5{x}^{2}+60\Leftrightarrow
{x}^{4}+5{x}^{2}+60\Leftrightarrow
{x}^{4}+5{x}^{2}+60\Leftrightarrow
{x}^{4}+5{x}^{2}+60\Leftrightarrow
Respuestas:
h) {x}^{4}-5{x}^{2}+6\,{\,}=0\,{\,}\Leftrightarrow x=\sqrt{3}\,{\,}\acute{o}\,{\,}{x}_{2}=-\sqrt{3}\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=\sqrt{2}\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=-\sqrt{2}\,{\,}\text{.}

(Si ponemos t={x}^{2} obtenemos {t}^{2}-5t+6=0que tiene por soluciones t=3\,{\,}\acute{o}\,{\,}t=2 de donde como t={x}^{2} obtendremos {x}_{1}=\sqrt{3}\,{\,},\,{\,}{x}_{2}=-\sqrt{3}\,{\,},\,{\,}{x}_{3}=\sqrt{2}\,{\,},\,{\,}{x}_{4}=-\sqrt{2})

{x}^{4}-5{x}^{2}+60\Leftrightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty },-\sqrt{3}\right)\cup \left(-\sqrt{2},\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{2},+\mathrm{\infty }\right)
{x}^{4}-5{x}^{2}+60\Leftrightarrow x\in (-\mathrm{\infty },-\sqrt{3}\rbrack \cup \left\lbrack -\sqrt{2},\sqrt{3}\right\rbrack \cup \lbrack \sqrt{2},+\mathrm{\infty })
{x}^{4}-5{x}^{2}+60\Leftrightarrow x\in \left(-\sqrt{3},-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)
{x}^{4}-5{x}^{2}+60\Leftrightarrow x\in \left(-\sqrt{3},-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)
Prueba polinomicas-022.png |-
i) f(x) ={x}^{2}-3
{x}^{2}-3\,{\,}=0\,{\,}\Leftrightarrow
{x}^{2}-30\Leftrightarrow
{x}^{2}-30\Leftrightarrow
{x}^{2}-30\Leftrightarrow
{x}^{2}-30\Leftrightarrow
Respuestas:
i) \,{\,}=0\,{\,}\Leftrightarrow -{x}^{2}\left({x}^{2}-5x+6\right)=0\Leftrightarrow -{x}^{2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=0\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=2\,{\,}\acute{o}\,{\,}x=3
-{x}^{4}+5{x}^{3}-6{x}^{2}0\Leftrightarrow {x}^{2}\left({x}^{2}-5x+6\right)> 0\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)> 0\Leftrightarrow x\in \left(2,\,{\,}3\right)
-{x}^{4}+5{x}^{3}-6{x}^{2}0\Leftrightarrow {x}^{2}\left({x}^{2}-5x+6\right)\ge 0\Leftrightarrow {x}^{2}\,{\,}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left\lbrack 2,\,{\,}3\right\rbrack
-{x}^{4}+5{x}^{3}-6{x}^{2}0\Leftrightarrow {x}^{2}\left({x}^{2}-5x+6\right)< 0\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)< 0\Leftrightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}0\right)\cup \left(0,\,{\,}2\right)\cup \left(3,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
-{x}^{4}+5{x}^{3}-6{x}^{2}0\Leftrightarrow {x}^{2}\left({x}^{2}-5x+6\right)\le 0\Leftrightarrow {x}^{2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\le 0\Leftrightarrow x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}2\rbrack \cup \lbrack 3,\,{\,}+\mathrm{\infty })
Prueba polinomicas-023.png |-

Para finalizar estas actividades: Hallar el polinomio P(x) de tercer grado que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1) Que 2 sea raíz. 2) Que 5 sea raíz de multiplicidad dos. 3) P(1) = 7, luego realizar un esbozo aproximado.

P(x)=\,{\,}k\,{\,}\left(x-2\right){\left(x-5\right)}^{2} Ahora necesitamos que P(1)=k\left(1-2\right){\left(1-5\right)}^{2}=7 de donde despejamos k y obtenemos k=-\frac{7}{\text{16}} de donde la respuesta final será: P(x)=\,{\,}-\frac{7}{\text{16}}\,{\,}\left(x-2\right){\left(x-5\right)}^{2}

Falta el esbozo, te lo dejamos a vos.

Te recomendamos, si cuando leas esto aún existe:

http://es.scribd.com/doc/16299425/ModelospolinomialesRodas

Hay un problema de aplicación muy interesante.


Actividad 4

Algunos problemas de aplicación.

1) En una fábrica de caramelos necesitan construir una caja para un nuevo producto en forma de prisma rectangular y con las medidas como el de la figura:



a) Escribir la expresión que permite calcular el volumen del envase en función de sus medidas.

b) Calcular el volumen del envase si su ancho (3x) es de 18 cm.

c) Si se quiere un envase de 270 cm3 de volumen, ¿cuáles serán las medidas del mismo?

Respuestas:

a) V(x)=3x\left(3x-6\right)\left(2x+4\right)

b) Si su ancho es 18 cm entoncesx=6\,{\,}\text{cm}, por lo tanto sus dimensiones son de \text{12},\,{\,}\text{16}\,{\,}y\,{\,}\text{18}\,{\,}\text{cm},\,{\,}por lo que su volumen será de \text{3456}\,{\,}{\text{cm}}^{3}

c) Si se desea un envase que guarde esas relaciones entre el ancho, alto y largo deberá ocurrir que 3x\left(3x-6\right)\left(2x+4\right)=\text{270}\Leftrightarrow \text{18}{x}^{3}-\text{72}x-\text{270}=0\Leftrightarrow {x}^{3}-4x-\text{15}=0. El polinomio {x}^{3}-4x-\text{15} cumple con las hipótesis para aplicarle el teorema del factor de primer grado, con lo cual en pocos minutos comprobamos que 3 es raíz del mismo con lo cual podemos expresar:

{x}^{3}-4x-\text{15}=\left(x-3\right)\left({x}^{2}+3x+5\right). 3 es la única raíz real de ese polinomio. Si x=3\,{\,}\text{cm} para que el volumen sea de 270 cm3, dichas dimensiones deberán ser: 9, 3 y 10 cm.


2) Un meteorólogo registró que la temperatura, en grados centígrados, durante el transcurso de un día estaba determinada por la expresión T ( x) = 0,05 x( x − 12)( x − 24) , donde x es el tiempo medido en horas y x = 0 corresponde a las 6 a.m.

a) Representen gráficamente T(x)

b) ¿A qué hora la temperatura supera los 0°C?

c) ¿A qué hora la temperatura es inferior a los 0°C?

d) ¿En qué momento del día la temperatura fue de 32°C?

Respuestas:

a)

Prueba polinomicas-024.png

b) Entre las 6 de la mañana y las 6 de la tarde.


c) Entre las 6 de la tarde y las 6 de la mañana del día siguiente.


d) El inciso d) es un problema donde quizá se pretende que se realice una aproximación. Ahora contamos con por lo menos dos maneras de trabajar por aproximación: usando papel milimetrado o a bien ayudándonos con el graficador (forma más cómoda y precisa). Tomaremos este segundo método. Quizá aún no descubriste, pues no lo incluimos en la guía de uso del graficador, que es lo siguiente. Si se pincha con el ratón cualquier punto del plano de inmediato aparecen las coordenadas de dicho punto. Si vas probando cerca de donde vos creés que la temperatura el de aproximadamente 32o:

Prueba polinomicas-025.png

Aquí se logró (tanteando) saber que 3,44 horas después de las 6 de la mañana o sea a las 9:26 la temperatura era de 30,75o y una hora después o sea a las 10:26 era de 32,75o, con lo cual nos aseguramos de que en el transcurso de esa hora la temperatura fue de 32o.

Si probamos con algo más de paciencia en el graficador seguramente encontraremos un intervalo de menor tiempo. De hecho aquí parece que hemos encontrado el valor exacto, decimos “parece” porque no podemos estar seguros de que ese punto está sobre la curva si no reemplazamos la x por él y obtenemos 32 en la función original:

Prueba polinomicas-026.png

0,\text{05}\cdot 3,\text{92}\left(3,\text{92}-\text{12}\right)\left(3,\text{92}-\text{24}\right)=\text{31},8 que nos llevaría a responder, aproximadamente a las 9:55 horas. Por el tipo de gráfica que hemos obtenido se observa que luego habrá otro horario donde dicha temperatura se va a repetir.


Si buscamos una manera “formal” de resolver la ecuación, veremos que la misma está preparada para que podamos hacerlo con los conocimientos que poseemos. Se trata de resolver la ecuación:

\begin{array}{c}0,\text{05}x\left(x-\text{12}\right)\left(x-\text{24}\right)=\text{32}\Leftrightarrow 0,\text{05}{x}^{3}-\mathrm{1,8}{x}^{2}+\text{14},4x-\text{32}=0\Leftrightarrow 5{x}^{3}-\text{180}{x}^{2}+\text{144}x-\text{3200}\Leftrightarrow \\ 
\Leftrightarrow {x}^{3}-\text{36}{x}^{2}+\text{288}x-\text{640}=0\end{array}

A este polinomio puede aplicársele el teorema del factor con lo cual deberíamos comenzar a probar con 1, -1, 2, -2, 4, -4. etc. Con algo de paciencia vemos que 4 resulta raíz por lo cual x-4 es factor del polinomio {x}^{3}-\text{36}{x}^{2}+\text{288}x-\text{640}=0, por lo tanto el mismo es divisible por x-4 de donde obtenemos:

{x}^{3}-\text{36}{x}^{2}+\text{288}x-\text{640}=(x-4\left)\right({x}^{2}-\text{32}x+\text{160}) este segundo factor se anula para {x}_{2}=\text{16}+4\sqrt{6} y para {x}_{1}=\text{16}-4\sqrt{6} o sea que el polinomio.


{x}^{3}-\text{36}{x}^{2}+\text{288}x-\text{640}expresado como producto de factores de primer grado nos quedaría:

{x}^{3}-\text{36}{x}^{2}+\text{288}x-\text{640}=(x-4)\left(x-\left(\text{16}+4\sqrt{6}\right)\right)\left(x-\left(\text{16}-4\sqrt{6}\right)\right) que aproximando esos valores irracionales a racionales obtendríamos: {x}_{1}=4;\,{\,}{x}_{2}=\text{25},8;\,{\,}{x}_{3}=\mathrm{6,2}. 25,8 está fuera del dominio que es \left\lbrack 0,\,{\,}\text{24}\right\rbrack y 6,2 significa la hora 12:12.

Por lo que la respuesta al problema será que habrá 32o a las 10 de la mañana y a las 12:12 del mediodía

3) Las siguientes funciones representan las ganancias, en millones de pesos, de dos empresas en función del tiempo t,en años:


f ( t ) = − t (t − 6)
g ( t ) = − t 2 (t − 4)

a) Representen gráficamente ambas funciones en un mismo sistema de ejes

b) ¿Para qué valores de t, tiene sentido analizar ambas funciones?

c) ¿En qué momento cada una de las empresas produce pérdidas?

d) ¿En qué años las dos empresas producen la misma ganancia?

e) ¿Cuál fue esa ganancia?

Respuestas:

a)

Prueba polinomicas-027.png

b) Tiene sentido analizarlo para valores positivos de t (por eso no hemos construido las gráficas en los otros cuadrantes.

c) Una de ellas después de transcurridos 4 años y la otra después de transcurridos 6 años.

d) -t\left(t-6\right)=-{t}^{2}\left(t-4\right)\Leftrightarrow t\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0 Cuyas soluciones son: {t}_{1}=0;\,{\,}{t}_{2}=2;\,{\,}{t}_{3}=3. Lo que significa que al comienzo, transcurridos dos años y transcurridos 3 años las ganancias fueron las mismas (0 millones, 8 millones y 9 millones respectivamente.


4) Una metalúrgica vende tornillos y bulones. Para diferenciar sus productos los almacena en dos cajas diferentes: los tornillos en cajas que tienen igual medida de ancho, alto y profundidad, y los bulones en cajas en las que el ancho es el triple de la altura y la profundidad es 4 cm menos que la altura. Pero para apilarlas ordenadamente, la altura de ambas cajas es la misma.

Respuestas:

a) Escriban la expresión que permite calcular el volumen de cada una de las cajas.

b) Calculen el volumen de cada caja si su altura es de 8 cm.

c) ¿Cuáles serán las dimensiones de las cajas para que su volumen sea el mismo?

a) Volumen de la caja que contiene tornillos: V={a}^{3}

Volumen de la caja que contiene bulones: V=3{a}^{2}\left(a-4\right)

b) El de la de tornillos será de 512 cm3 y el de la de bulones será de 768 cm3.

c) Debemos plantear la ecuación: {a}^{3}=3{a}^{2}\left(a-4\right)\Leftrightarrow a=0\,{\,}\acute{o}\,{\,}a=6, es obvio que con la primera medida no habría caja por lo tanto deberá ser a=6\,{\,}\text{cm}

Verificación de c): La primera caja tendrá un volumen de (6\,{\,}\text{cm}{)}^{3}=\text{216}\,{\,}{\text{cm}}^{3} y la otra tendrá un volumen de 3\,{\,}\cdot \,{\,}(6\,{\,}\text{cm}{)}^{2}\,{\,}\cdot \,{\,}2\,{\,}\text{cm}=\text{216}\,{\,}{\text{cm}}^{3}


Actividad 5

Realizar un esbozo aproximado de las siguientes funciones y luego resolver las ecuaciones e inecuaciones que se piden en cada caso:

a) f(x)=\left\vert {x}^{3}\right\vert g(x)=8

f\left(x)=g\right(x); f\left(x)< g\right(x); f\left(x)\le g\right(x); f\left(x)> g\right(x); f\left(x)\ge g\right(x)

b) f(x)=\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert g(x)=\text{144}

f\left(x)=g\right(x); f\left(x)< g\right(x); f\left(x)\le g\right(x); f\left(x)> g\right(x); f\left(x)\ge g\right(x)

Respuestas:

a) Siendo f(x)=\left\vert {x}^{3}\right\vert y g(x)=8, luego de realizar la gráfica de ambas funciones resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

f\left(x)=g\right(x); f\left(x)< g\right(x); f\left(x)\le g\right(x); f\left(x)> g\right(x); f\left(x)\ge g\right(x)
Prueba polinomicas-028.png
\left\vert {x}^{3}\right\vert =8 {x}_{1}=2\,{\,}\acute{o}\,{\,}{x}_{2}=-2
\left\vert {x}^{3}\right\vert 8 x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-2\right)\cup \left(2,\,{\,}+\mathrm{\infty }\right)
\left\vert {x}^{3}\right\vert 8 x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}-2\rbrack \cup \lbrack 2,\,{\,}+\mathrm{\infty })
\left\vert {x}^{3}\right\vert 8 x\in \left(-2,\,{\,}2\right)
\left\vert {x}^{3}\right\vert 8 x\in \left\lbrack -2,\,{\,}2\right\rbrack

b) Siendo f(x)=\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert y g(x)=\text{144}, luego de realizar la gráfica de ambas funciones resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

f\left(x)=g\right(x); f\left(x)< g\right(x); f\left(x)\le g\right(x); f\left(x)> g\right(x); f\left(x)\ge g\right(x)


Prueba polinomicas-029.png
\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert =\text{144} {x}_{1}=-\sqrt{\text{28}}\,{\,}\acute{o}\,{\,}{x}_{2}=-2\,{\,}\acute{o}\,{\,}{x}_{3}=2\,{\,}\acute{o}\,{\,}{x}_{4}=\sqrt{\text{28}}
\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert \text{144} x\in \left(-\mathrm{\infty },\,{\,}-\sqrt{\text{28}}\right)\cup \left(-2,\,{\,}2\right)\cup \left(\sqrt{\text{28}},\,{\,}-\mathrm{\infty }\right)
\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert \text{144} x\in (-\mathrm{\infty },\,{\,}-\sqrt{\text{28}}\rbrack \cup \left\lbrack -2,\,{\,}2\right\rbrack \cup \left\lbrack \sqrt{\text{28}},\,{\,}-\mathrm{\infty }\right\rbrack
\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert \text{144} x\in \left(-\sqrt{\text{28}},\,{\,}-2\right)\cup \left(2,\,{\,}\sqrt{\text{28}}\right)
\left\vert -{\left(x-4\right)}^{2}{\left(x+4\right)}^{2}\right\vert \text{144} x\in \left\lbrack -\sqrt{\text{28}},\,{\,}-2\right\rbrack \cup \left\lbrack 2,\,{\,}\sqrt{\text{28}}\right\rbrack

Sería el momento de familiarizarte con el uso de algún graficador de los tantos que podés encontrar en forma gratuita en Internet.


El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puedan ser asignados a la variable independiente para obtener un valor real de dicha función, por lo tanto para todas las funciones con las que hemos trabajado el dominio es el conjunto de todos los números reales. Pero no siempre ocurre esto último:

Por un momento pensemos un caso muy sencillo, que analizaremos ahora, se trata de la función f(x)=\frac{k}{x}, Siendo k un número real cualquiera (distinto de cero). Es obvio que en este caso x no puede tomar el valor cero. Por lo tanto es un primer ejemplo donde el dominio estará formado por todos los valores reales de x, distintos de cero.