Ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones de segundo grado. Problemas.

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede llevarse a la forma:

ax2 + bx + c = 0, con a, b y c reales y a\mathrm{{^1}}0
y puede resolverse con la fórmula:
x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4\text{ac}}}{2a} cuando {b}^{2}-4\text{ac}\ge 0 (la deduccion de esta fórmula la podés encontrar en cualquier específico o en Internet)


Comencemos con algunas donde no es necesario su utilización porque b o c (o ambos) con nulos.


x2 – 4 = 0 o sea x2 = 4


¿cómo despejamos x?:


Algo sobre radicación

Tomemos las raíces cuadradas de cada miembro (observemos que esto es posible pues ambos miembros son no negativos) por ello existen ambas raíces

\sqrt{x^2} = \sqrt{4}

O sea,

\sqrt{x^2} = 2

Esto es así pues, para cualquier real x: \sqrt{x^2} = |x|


¿Estás convencido? Veamos: \sqrt{2^2} = |2| = 2


\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2


\sqrt{3^2} = |3| = 3


\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3


¿Valdrá una igualdad análoga para raíces cúbicas de potencias cúbicas? Rta: NO.

\sqrt{2^2} = 2
y \sqrt{(-2)^2} = 2
\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125} = 5

\sqrt[3]{(-5)^{3}} = \sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5

Es decir: \sqrt[3]{{x}^{3}}=x
¿Y para \sqrt[4]{{x}^{4}}?


\sqrt[n]{{x}^{n}}=\left\vert x\right\vert , si n es ............


\sqrt[n]{{x}^{n}}=x, si n es ...........
Volvamos a las ecuaciones de segundo grado


Volvamos a nuestra ecuación original:

\sqrt{x^2} = 2

equivale a

|x| = 2

es decir

x = 2 ó x = – 2

Respuesta: la ecuación tiene exactamente las dos soluciones
x = 2, x = – 2.


Ahora trataremos de resolver la ecuación: x2 + 1 = 0 o sea x2 = 1.


¿Podemos tomar las raíces cuadradas a ambos miembros de esta última igualdad?
¿Por qué? (Tratá de contestar)
Rta: la ecuación no tiene solución.


Ahora trataremos de resolver la ecuación: 3x2 9x = 0
Sacamos x como factor común:
x · (3x – 9) = 0
obteniendo un producto que es igual a cero.
¿Qué podés afirmar si te presentan un producto de dos números que da cero?
Seguramente dirías que por lo menos uno de esos dos factores es cero.
Esto significa que es
x = 0 o bien (3x – 9) = 0
Es decir, x = 0 es una solución de la ecuación.
Si ahora despejamos x en la otra posibilidad, resulta
3x = 9
o sea
x = 9 : 3
es decir, x = 3 que es la otra solución de la ecuación.
Rta: la ecuación dada tiene exactamente dos soluciones: x = 0, x = 3.


Consideremos ahora la ecuación (x 2) (x + 8) = 0 ¿Te conviene aplicar la propiedad distributiva y expresarla en la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c reales y a \neq 0 para luego aplicar la fórmula que mencionamos al principio (y que conocés de la escuela media)


Si pensás un pocao verás que la respuesta es NO porque si volvés a pensar cuándo el producto de dos números es cero, te responderás de inmediato que cuando el primer factor es cero o bien cuando el segundo es cero o sea x – 2 = 0 o bien x + 8 y de inmediato verás que la ecuación tiene dos soluciones:
x = 2 ó x = 8
Respuesta: la ecuación tiene exactamente dos soluciones:
x = 2,
Consideremos ahora la ecuación:
x2 + 5x + 6 = 0
tiene cierta dificultad: observemos que con las propiedades que aplicamos en las anteriores no logramos despejar la x; tiene la particularidad que ni b ni c valen cero (como había ocurrido en los ejemplos anteriores)
Como te dijimos al principio una ecuación de segundo grado es aquella que puede llevarse a la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a, b y c reales y a \neq0
y puede resolverse con la fórmula:
x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4\text{ac}}}{2a} cuando {b}^{2}-4\text{ac}\ge 0
Si {b}^{2}-4\text{ac}< 0, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales (R)
si {b}^{2}-4\text{ac}=0, la ecuación tiene única solución en R.
si {b}^{2}-4\text{ac}> 0, la ecuación tiene dos soluciones en R.


Apliquemos la fórmula en el caso mencionado x2 + 5x + 6 = 0 resulta:
a = 1
b = 5
c = 6


entonces b2 - 4ac = 52 - 4.1.6 = 1 que es positivo por do tanto obtendremos dos soluciones
Vamos a calcularlas:


x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}


Al considerar el "+" aparece la primera solución: 2


Y al considerar el "" aparece la segunda: 3.


Respuesta: la ecuación tiene exactamente dos soluciones:
x = – 2 o x = – 3.


Esta fórmula es válida en todos los casos (con b y/o c iguales a cero) pero realmente no vale la pena utilizarla.
Actividad 1)

Resolver las siguientes ecuaciones

1) x2 – 5x + 6 = 0

2) x2 – 25 = 0

3) x2 – 10x = – 25

4) –x2 + 4x – 5 = 0

5) (x + 1)(x – 3) = -3

6) (x + 5)(x – 8) = 0

7) x2 – 5 = 0
Repuestas:

1) x = 2, x = 3

2) x = 5, x = -5

3) Única solución x = 5
4) No tiene solución
5) x = 0, x = 2
6) x = -5, x = 8
7) x = \sqrt{5}, x = - \sqrt{5}
Con lo aprendido hasta aquí resolveremos problemas.


Consideremos la siguiente situación:


Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada esquina cuadrados de 3 centímetros de lado y doblando hacia arriba los rectángulos resultantes (de 3 cm. de altura). Si la caja tiene un volumen de 432 cm3 . ¿De cuántos cm2 de cartón se disponía al principio?

x

Nuestra incógnita es x: medida del lado del cartón cuadrado.


Al cortar las esquinitas y doblar las paredes de la caja (por las líneas de puntos) , la base de ésta es un cuadrado cuyo lado mide (x – 6) cm.


Otro dato que aparece se refiere al volumen de la caja. Recordemos que éste se calcula multiplicando el ancho por el largo y por el alto de la misma.


En este caso: el ancho es (x – 6) cm

el largo es (x – 6) cm

y el alto es 3 cm.

Llegamos entonces, quitando las unidades, a la siguiente ecuación:

3(x – 6)(x – 6) = 432

que es equivalente a

3x2 - 36x - 324 = 0.

Se trata de una ecuación de segundo grado completa (ni b ni c con cero)

En este caso resultan


a = 3b = 36c = 324


entonces b2 – 4ac = (– 36)2 - 4.3.( – 324) = 1296 + 3888 = 5184


Luego x=\frac{-\left(-\text{36}\right)\pm \sqrt{\text{5184}}}{2\,{\,}\text{.}\,{\,}3}=\frac{\text{36}\pm \text{72}}{6}

De donde aparecen las dos soluciones: x = 18 , x = 6.

Pero, ¿qué representa x?

x es la medida del lado del cartón.

¿Tiene sentido pensar, entonces, que dicha medida sea – 6?


No, luego la única posibilidad para x es que sea 18.


Respuesta: la caja está hecha con un cartón cuadrado de 18 cm de lado por lo tanto al principio se disponía de 324 cm2.

Te resolvemos uno de nuestros problemas preferidos.


En general este problema no resulta nada sencillo. Sólo aparece un dato numérico explicitado y no son obvias las vinculaciones entre el mismo, los demás datos y la pregunta.


Pero observaremos cómo todo esto se vuelve más claro cuando logramos ver el "paralelo" entre esta situación problemática y el campeonato de Primera División “A” que organiza semestralmente la Asociación del Fútbol Argentino, donde jugaban 20 equipos y cada uno una vez con todos los otros.


Aquí va la tabla de posiciones al finalizar el torneo clausura 1997 copiada de un diario argentino:

Equipo Puntos obtenidos Partidos jugados
River Plate 41 19
Colón 35 19
Newell´s 35 19
Independiente 34 19
Vélez Sarsfield 32 19
San Lorenzo 30 19
Racing 27 19
Platense 26 19
Boca Juniors 25 19
Lanús 24 19
Ferrocarril Oeste 24 19
Unión 24 19
Gimnasia (LP) 23 19
Huracán 22 19
Huracán de Ctes 21 19
Estudiantes 19 19
Deportivo Español 19 19
Rosario Central 18 19
Banfield 16 19
Gimnasia (Jujuy) 14 19

En base al cuadro anterior contestaremos las siguientes preguntas:* ¿Cuántos equipos participaron?

  • ¿Cuántos partidos por fecha se disputaron?
  • ¿Cuántas fechas se jugaron?
  • ¿Cuántos partidos se jugaron en total?


Respuestas:
*
20 equipos
  • 10 partidos por fecha
  • 19 fechas
  • 190 partidos en el total del campeonato


Analicemos ahora con mucha atención para ver claramente las similitudes entre el problema planteado y nuestro campeonato de fútbol, comprendiendo la correspondencia entre los siguientes pares (Llamamos x a la cantidad de maestros, incógnita del problema):
CANTIDAD DE EQUIPOS DE PRIMERA "A" CANTIDAD DE MAESTROS
20 x
Otro par es:
CANTIDAD DE PARTIDOS QUE SE JUEGAN EN UNA FECHA CANTIDAD MÁXIMA DE PARTIDAS QUE PUEDEN JUGARSE SIMULTÁNEAMENTE
10 x/2

Pero el par anterior también puede pensarse

MITAD DE LOS EQUIPOS MITAD DE LOS MAESTROS
10 x/2
Otro de los pares (se suele decir "isomorfos") es:
CANTIDAD DE FECHAS DE UNO DE ESTOS CAMPEONATOS DE A.F.A. CANTIDAD DE VECES QUE SE REÚNE CADA UNO DE LOS MAESTROS A JUGAR
19 x - 1
Lo anterior viene de pensar que cada equipo (o que cada maestro) juega una vez con cada uno de los otros, pero no con sí mismo.
Por último puede colocarse el dato numérico del problema:
CANTIDAD TOTAL DE PARTIDOS QUE SE JUEGAN EN UN CAMPEONATO DE A.F.A CANTIDAD TOTAL DE PARTIDAS QUE SE JUGARON EN EL CAMPEONATO DE AJEDREZ
190 45

Pero si ahora pensamos ¿Cómo se obtuvo el número 190? La respuesta será:

Multiplicando el número de fechas por la cantidad de partidos por fecha, o sea 19 por 10.


Dicho de otro modo: multiplicando la cantidad de equipos menos uno por la mitad de los equipos participantes.

Si recordamos que x es el número de maestros (incógnita del problema) el producto isomorfo con

19 · 10 = 190

será:

\left(x-1\right)\frac{x}{2}=\text{45}

que es una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10 (verificarlo) que,

además es nada más ni nada menos que la respuesta al problema.


Ahora otro más resuelto:

Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge?


Si simbolizamos con x a la cantidad de amigos de Jorge, la cantidad de revistas que reparte a cada uno es x+2. Resulta que la cantidad de amigos por la cantidad de revistas que recibe cada amigo es 35 o sea la cantidad total a repartir, en símbolos:

x · (x+2) = 35


Cuya solución positiva (hacé vos las cuentas) es 5.


Respuesta: Jorge tiene 5 amigos.


Y ahora el último resuelto:

Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto de $18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por eso el dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró? En ambos casos el dinero le alcanzó exactamenete.


A veces en el aula decimos, expresándonos abreviadamente: "uno baja y el otro sube". Nos referimos a que si el producto de dos números positivos es un cierto número "A" y uno de los factores disminuye, para que dicho producto continúe dando por resultado "A" el otro factor debe aumentar.


Observá que inicialmente el número de gaseosas (n) por el precio de cada gaseosa (p) es dieciocho. En símbolos

n · p = 18(I)

pero al aumentar "p" ($0,30 más caras), si se mantiene el dinero en $18 podrá comprar menos cantidad de gaseosas (3 gaseosas menos)

por lo tanto la (I) se transformará en

(n - 3)(p + 0,30) = 18(II)
Para resolver podés, por ejemplo, despejar p en la (I): p = 18/n

y reemplazar en la (II):

\left(n-3\right)\left(\frac{\text{18}}{n}+0,\text{30}\right)=\text{18}
Quizá te resulte algo complicada la resolución de esta ecuación. Te sugerimos aplicar la propiedad distributiva y luego multiplicar a ambos miembros por n. Con eso y alguna cuenta más llegarás a una ecuación de segundo grado cuya solución positiva es n = 15. Luego la respuesta será que compró 12 gaseosas.
Actividad 2)

Resolver los siguientes problemas:

1. El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?

2. Un grupo de escolares alquiló un colectivo en $80. Cuatro de ellos no pudieron ir a la excursión y entonces cada uno de los que fue debió pagar $1 más. ¿Cuántos escolares había al principio? En ambos casos el dinero resultó exacto.

3. En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Ésta supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? (Ayuda: recordá el teorema de Pitágoras)

4. Un problema de origen hindú se presentaba en esta forma:

Regocíjanse los monos divididos en dos bandos.Su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doceatronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total?
5. En un campeonato de fútbol en el que cada equipo juega una vez con cada uno de sus adversarios se jugaron, en total, 66 encuentros ¿cuántos equipos participaron?
6. Un triángunlo rectángulo tiene los lados tales que sus medidas son números reales consecutivos. Calcularlos.
Respuestas:
1. Largo: 5 m. Ancho: 10 m.
2. 20 escolares.
3. 9, 12 y 15.
4. Existen dos respuestas: 16 y 48.
5. 12 equipos.
6. 3, 4 y 5


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