Ecuaciones de primer grado

De Nexos UNLu
Saltar a: navegación, buscar
GENERALIDADES SOBRE ECUACIONES
Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Problemas.


¿Qué es una ecuación?

¿Te pusiste a pensar cuántas veces has escrito el signo “=” a lo largo de tu vida?

2 + 2 = 4 (primer caso)

3x + 7x = 10x (segundo caso)

x + 1 = 4 (tercer caso)

En todos los casos, ¿tiene el mismo significado el signo “=” ?

Te anticipamos que NO.

En el primer caso: 2 + 2 = 4 estamos en presencia de dos formas distintas de simbolizar el número cuatro (dos más dos “alias” cuatro).

En el segundo caso: 3x + 7x = 10x aparece una letra que representa un número desconocido.

Es necesario que te des cuenta de que esta igualdad resulta cierta (o simplemente resulta una igualdad) para cualquier valor que le asignes a x.

En ambos casos decimos que se trata de una identidad.

Te damos otros ejemplos de identidades, esperamos que los justifiques y que agregues más:

a5 = a.a.a.a.a

5z – 3z = 2z

2 (5+3) = 2.5 + 2.3 = 16

En el tercer caso:

x + 1 = 4

también aparece una letra, como en el segundo.

Pero, ¿es verdadera la igualdad para cualquier valor de x?

Veamos

si le asigno el valor 3 a la incógnita, la igualdad se transforma en

3 + 1 = 4

que es una igualdad con sentido de “alias” (dos nombres para una misma cosa).

Pero si le asigno el valor 2 resulta

2 + 1 = 4

que no es una igualdad.

Actividad 1)

Determinar cuáles de las siguientes igualdades son identidades:

1.1) 3 - x = x - 3

1.2) 3x + x + 3 - 5 = 4x - 1

1.3) x2 +1 = (x+1)2

1.4) x + 1 = x + 2

1.5) 2(x+1) = 2 + 2x (sugerencia: aplicar la propiedad distributiva)

Respuestas:
1.1 no 1.2 no

1.3 no 1.4 no

1.5 sí

Estudiaremos, por ahora, sólo ecuaciones de primer grado (te adelantamos que se trata de aquellas que pueden “llevarse” a la forma:
\text{mx}=d\,{\,}\text{donde}\,{\,}m\,{\,}y\,{\,}d\,{\,}\text{son}\,{\,}\text{números}\,{\,}\text{cualesquiera},\text{con}\,{\,}m\ne 0).
Aunque no lo creas, ya desde muy chico resolvías ecuaciones de este tipo, lo que ocurre es que te las presentaban de un modo diferente:



Completar sobre la línea de puntos con el número que corresponda:

2 += 7 (quizá en primer grado)

80 · = 1200 (quizá en tercer grado)

. . . : 15 = 30 (quizá en cuarto grado)



¿Lo recordás?


Si en los lugares donde están los puntos suspensivos colocás la letra “x” (o cualquier otra letra) que llamaremos incógnita de la ecuación, las expresiones que obtengas resultarán ecuaciones de primer grado con una incógnita.


El valor de la incógnita que hace que el número que se obtiene en el primer miembro sea el mismo que se obtiene en el segundo miembro se llama solución o raíz de la ecuación.


2 + x = 7 tiene la solución x = 5

80 x = 1200 tiene la solución x = 15

\frac{x}{\text{15}}=\text{30} tiene la solución x = 450

Trataremos de darte ahora una primera aproximación a la definición de ecuación y a qué significa resolverla:




Un poco antes utilizamos, entre comillas, la palabra “llevarse”. Veremos ahora en qué sentido fue dicha.

Para ello necesitamos recordar que dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen exactamente las mismas soluciones (o ninguna de las dos tiene solución).

Por ejemplo:

x + 1 = 4 (que tiene por solución sólo al valor 3), es equivalente a

x + 2 = 5 (que obtuvimos sumando 1 a ambos miembros de la primera y que también tiene esa única solución: x=3 ), y ésta es equivalente también a

3x + 3 = 12 (que obtuvimos multiplicando por 3 a ambos miembros de la primera y que también tiene esa única solución: x=3), a su vez, ésta a:

\frac{x+1}{4}=1 (que obtuvimos dividiendo por cuatro a ambos miembros de la primera y que también tiene esa única solución: x=3 ).

Por último

7x + 1 = 6x + 4 (que obtuvimos sumando 6x a ambos miembros de la primera y que también tiene esa única solución: x=3 ).


Si la ecuación es de primer grado, nuestro trabajo consiste en transformar esa ecuación en otra equivalente a ella y repetir esto todas las veces que sea necesario, hasta llegar, si es posible, a una ecuación en donde un miembro sea sólo la expresión “x” y el otro un número (solemos decir que “despejamos la x”).


Tratamos de que fueras observando cómo pueden ir obteniéndose ecuaciones equivalentes a partir de una dada, para que te resulte claro lo siguiente:

Se puede demostrar (en este curso no lo haremos) que se mantiene la equivalencia entre dos ecuaciones si:

¨ sumamos a ambos miembros de la ecuación una misma expresión,

o bien:

¨ si multiplicamos a ambos miembros de la ecuación por una misma expresión distinta de cero.

Nota: Si vos sabés resolver ecuaciones de primer grado sin ninguna duda podés seguir utilizando el modo en que lo hacías en la escuela. Aquí tratamos de explicarte el por qué. Debés comprender nuestra explicación pero luego, ante la necesidad de resolver la ecuación podés hacerlo como gustes.


Ejemplo 1:

Resolvamos la ecuación

2x = 1 - 3x

Recordá cuál es nuestro objetivo: llegar, si es posible, a una ecuación en donde un miembro sea sólo la expresión “x” y el otro un número (solemos decir que “despejamos la x”).


Para ello elegimos, por ejemplo "que desaparezca" -3x del segundo miembro.


Para ello sumaremos la expresión “3x” a ambos miembros (En la escuela seguramente decías que "pasás" 3x, al primer miembro, sumando. Es ese un modo abreviado de aplicar una de las propiedades enunciadas antes de este ejemplo 1. Tratá de comprender el porqué de esta cuestión de "pasar" mediante esas propiedades. Quizá haga varios años que venís hablando de "pasar al otro miembro" y nunca te preguntaste qué justificaba ese hecho).


2x + 3x = 1 3x +3x

Es decir

5x=1

De una manera análoga multipliquemos ahora por un quinto ambos miembros: (o lo que es lo mismo, dividámoslos por 5)

5x\text{.}\frac{1}{5}=1\text{.}\frac{1}{5}

y esta última es equivalente a

x=\frac{1}{5}
Luego, la ecuación dada tiene la solución (única)
x=\frac{1}{5}


Nuestra experiencia nos permite asegurar que si pensás la equivalencia entre ecuaciones del modo en que te explicamos en el ejemplo anterior, vas a cometer menos errores que con ese "mecanismo" de "pasar de un miembro a otro".



Algunos errores muy comunes y muy graves…

Que muchos de nuestros alumnos suelen cometer (quizá vos no, entonces podés pensar como desees la forma en que resolvés la ecuación) son los siguientes:

Muchos alumnos ¡ERRÓNEAMENTE! suelen decir que primero "pasan el 4 multiplicando al segundo miembro". (Con lo que obtienen 2 + x = 28, luego les queda: x = 26 que, por supuesto, no es solución de la ecuación dada pues 2+\frac{\text{26}}{4}\ne 7)

Si en cambio piensan que lo que hacen es multiplicar a ambos miembros por 4, les queda

\left(2+\frac{x}{4}\right)4=7\text{.}4

de donde (aplicando la propiedad distributiva) se obtiene

8 + x = 28

y luego, restando 8 a ambos miembros queda resuelta la ecuación:

x = 20


Ejemplo 3

Otro ERROR (u horror) que solemos ver es el siguiente:

Se tiene la ecuación

– 2x = 8

Entonces suelen escribir ¡ERRÓNEAMENTE!

x=\frac{8}{2} (porque dicen que pasan el 2 dividiendo y le cambian el signo, esto último, por cambiarlo de miembro).

Es claro que x = 4 no es solución de la ecuación pues -2\,{\,}\text{.}\,{\,}4\ne 8.


Es este un error muy grave y desgraciadamente muy común que arrastran de la escuela, quizá porque nunca han pensado que lo que realmente deben hacer es dividir los dos miembros por -2 (menos dos) para que la x quede "despejada", de lo contrario (si dividen por 2) en el primer miembro quedará -x y no x .

Entonces lo correcto, para resolver la ecuación

2x = 8

es dividir los dos miembros por -2:

\frac{-2x}{-2}=\frac{8}{-2}

Simplificando en ambos miembros obtenemos la única solución de la ecuación:

x = – 4

Nota: Hay docentes que no están de acuerdo con que se escriban en un material errores, pues estaría la posibilidad de que alumnos que tienen memoria visual, los recuerdan y por lo tanto los comentan. Pensamos que si igualmente los siguen cometiendo este podría ser un modo de que estén alerta.


Actividad 2)

Resolver las siguientes ecuaciones:

2.1) x - 9x + 5 = 2x + 3

2.2) (6x - 2) x = (2x - 1) 3x + 0,1

2.3) \frac{x+2}{4}=\frac{3x-4}{2}

2.4) (10 - x + 0,5x) 0,2 = 31 - 3x

2.5) 0,31 (2x – 1 ) = - 4,3x + 2

2.6) 4 (x+1)-2=0

2.7) \frac{x}{3}-\frac{2x}{5}=\frac{x}{2}-3(ayuda: multiplicá ambos miembros por 30 o bien sacá común denominador en ambos miembros y luego multiplicalos por 30)

2.8) ((4 - 2x) 0,02) 1,5 = 1 (ayuda: primeramente quitá el paréntesis de adentro, aplicando la propiedad distributiva y luego el de afuera del mismo modo)

¿Podremos aplicar todo esto para resolver problemas? La respuesta es SÍ.


Saber plantear y saber resolver ecuaciones son dos grandes herramientas para poder resolver cierto tipo de problemas.

Respuestas:

x = 1/5x = 0,1x = 2x = 10

x =77/164 (aprox. 0,46951)
x = -1/2


Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado

Aunque quizá ya conozcas este texto, no está de más que lo releas

Dijo George Polya en el año 1944:

“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción ... En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión matemática.”


Nota: En la actualidad se discute mucho (entre especialistas en didáctica de la matemática) si deben o no presentársele a los alumnos problemas como los que aquí continúan, sobre todo porque los mismos poco o nada tienen que ver con la realidad. Sin embargo pensamos que realizar algunos de ellos te irá formando para luego abordar otros que sí tendrán que ver con situaciones reales.

Actividad 3)

Escribir, sobre los puntos suspensivos, la expresión aritmética que “traduce” cada una de las siguientes expresiones coloquiales (como muestra el primer ejemplo):

Si x es la edad en años de Juan hoy, entonces:

“la edad de Juan dentro de 5 años”

se expresa x + 5

“la edad de Juan hace 2 años”

se expresa .....................

“el doble de la edad de Juan hoy”

se expresa .................

“el triple de la edad de Juan hoy aumentada en 20 años”

se expresa ...............

“la mitad de la edad que tenía Juan hace 6 años”

se expresa ...................

Tomá lápiz y papel y tratá de escribir la ecuación que representa la siguiente situación:

Respuestas:
x – 2
2x

3x + 20

(x – 6)/2


Problema 1 (Resuelto)

Si al dinero que me regalaron le resto su mitad y a este monto lo multiplico por 24 obtengo los cuatro tercios de la suma de dicha cantidad regalada más $16. ¿Cuánto dinero me regalaron?



¿Te ayudamos?

Conviene que leas varias veces el enunciado de un problema hasta familiarizarte con él.

Luego, identificá la incógnita: cantidad de dinero que me regalaron.

Vamos a darle un nombre: x.

Es decir, x es el dinero que me regalaron.

Busquemos la manera de relacionar nuestra incógnita con los datos.

El enunciado hace referencia a la mitad del dinero que me regalaron; este valor es x/2. Y luego dice que multiplique por 24 al monto que resulta de la diferencia entre x y x/2, es decir:

\biggl( x - \frac{x}{2} \biggr) 24

Y luego se agrega que esta cantidad es igual a los 4/3 de una suma, es decir 4/3 por esa suma; y ¿cuál es esa suma? Vuelvo a recordar los datos y me encuentro con que esa suma es la suma de x y 16; es decir

\frac{4}{3}\left(x+\text{16}\right)

Reúno toda la información y obtengo la siguiente ecuación:


que tiene la única solución (resolvela):

x = 2

Respuesta: me regalaron $2.


Problema 2 (Resuelto)

Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno?


Nota: Este problema y otros quizá los puedas resolver sin necesidad de plantear la ecuación, cosa que tiene valor, pero la idea es que la plantees para estar preparado en los casos en que eso no te sea posible.


Identifiquemos qué es lo que se pide y cuáles son los datos del problema.

Llamemos x al dinero que ahorró el menor.

Luego, el hermano mayor ahorró 3x.

Ya que juntos ahorraron $192 debe ser:

x+3x = $192.

Resolvamos esta ecuación y encontraremos que

x=$48.


Es decir, el hermano menor ahorró $48.

Como el hermano mayor ahorró 3x, resulta:

3.$48 = $144.

Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el mayor $144.


Problema 3 (Resuelto)

En el corral de una granja escuela  hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan Patricio dice que contó un total de 192 patas y Ana, que contó todas las cabezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?

Si llamamos c al número de corderos y g al número de gallinas, tenemos:

4c + 2g = 192

c + g = 60

De la segunda relación resulta

g = 60 – c

que reemplazada en la primera nos dice

4c + 2(60-c) = 192

es decir

4c + 120 – 2c =192

o sea

2c = 72

de donde

c = 36

Para conocer g volvemos unos renglones atrás y nos encontramos con que

g = 60 – c

es decir

g = 60 - 36 = 24

Respuesta: en el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.


Problema 4 (Resuelto)

Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11, y la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número?


Los datos están dados en función de las cifras del número que tengo que encontrar, entonces nuestras incógnitas serán dichas cifras; por ejemplo: si el número que estamos buscando es 35, nuestras incógnitas serán el 3 y el 5. ¿Cómo hacemos para escribir al 35 “separando” el 3 y el 5? Recordando que se trata de un número en base 10 (sistema posicional) la respuesta es:

35 = 3 · 10 + 5.

Y esto lo podemos hacer con cualquier número de dos cifras; en general:

si ab es un número donde a representa la cantidad de decenas  y b la cantidad de  unidades (no interpretar como producto), resulta

ab = a.10 + b.

Entonces volvamos a los datos de nuestro problema:

"...la suma de las cifras es 11..." , es decir, a + b = 11,

"...la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1...", es decir ,

b = 2a – 1

Bastará reemplazar en la primera ecuación el valor de b, en función de a, que nos brinda la segunda ecuación, es decir:

a + (2a – 1) = 11

lo que equivale a

3a – 1 = 11

o sea

3a = 12

de donde sale que

a = 4

Para hallar el valor de b se reemplaza en la segunda ecuación el valor de a encontrado:

b = 2 . 4 – 1 = 7

Entonces

a = 4     y       b = 7

Respuesta: el número buscado es 47.


Problema 4 (Resuelto)

Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo?

Llamemos x al precio del libro más caro.
Entonces el libro más barato cuesta x/2.

Y el cuaderno cuesta x - 40.

La suma de los precios de los tres artículos es $80. Luego:

x + x/2 + x – 40 = 80

Esta ecuación es equivalente a

\frac{2x+x+2x-\text{80}}{2}=\text{80}

es decir,5x – 80 = 160por lo tanto


x=\frac{\text{240}}{5}=\text{48}

Si x = 48 entonces x/2 = 24y

x – 40 = 8

Respuesta: Ricardo pagó $48 y $24 por los libros y $8 por el cuaderno.


Actividad 4)

Sea un rectángulo de base b y altura a. Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas al rectángulo:

a) La altura es el doble de la base.

b) La base excede en 5 unidades a la altura.

c) La base es la mitad de la altura.

d) La base es \frac{3}{5} de la altura.

e) El perímetro del rectángulo es de 137m.

f) La mitad del perímetro del rectángulo es de 137m.

g) El área del rectángulo es de 1500{m}^{2}.

Respuestas:

a) a = 2b; b) b = a + 5; c) b = a/2; d) b = \frac{3}{5}a; e) 2a +2b = 137; f) \frac{2a+2b}{2}=\text{137} o bien a + b = 137 g) a·b= 1500 m2


Actividad 5)

Resolver los siguientes problemas:

5.1. La suma de tres números pares consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números?


5.2. Si a un número se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta el mismo número aumentado en 5, se obtiene 1. ¿Cuál es dicho número?


5.3. Juan y Pedro son mellizos. Andrés tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres sumadas es 42 años. ¿Qué edad tiene Andrés?


5.4. Un comerciante vende cierto número de cajas de lápices en la siguiente forma: la quinta parte a $58 la caja; la mitad del resto a $60 la caja y la otra mitad a $61 la caja; recibe en total $7.200. ¿Cuántas cajas de lápices ha vendido? (Ayuda: podés pensar que el dinero que recibe estará formado por la cantidad de cajas multiplicado por el precio de cada caja, pero cuidado: el total x de cajas no se vendió al mismo precio)


5.5. Siendo 68 metros el perímetro de un rectángulo y 12,5 metros  la longitud de uno de sus lados, ¿cuál es la longitud del otro?


5.6. Tengo $66 en billetes de $2 y de $5. Si en total tengo 18 billetes, ¿cuántos billetes de cada valor tengo? (Ayuda: es muy similar al de los corderos y las gallinas)


5.7. Tres personas reúnen un  capital de $9.500 para establecer un comercio minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera la mitad de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos?


5.8. Repartir $ 26.500 entre cuatro personas de manera que la primera reciba 3/5 de lo que recibe la segunda; la tercera 1/6 de lo que recibe la primera y la cuarta 2/3 de lo que recibe la tercera. (Ayuda: llamá P al dinero que recibe la primera, S al que recibe la segunda y así sucesivamente)


5.9. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. ¿Cuántos litros de vino contiene cada tonel?

5.10. José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César. ¿Cuántos años tiene cada uno si la suma de sus edades es 17?


5.11. Un comerciante quiere preparar 10 kilogramos de té para venderlo a $15 el kilogramo. Va a utilizar un té que está vendiendo a $22 el kg. y otro que está vendiendo a $12 el kg. Calculá cuántos kilogramos de cada clase de té debe colocar. Desea ganar lo mismo vendiendo mezclado o separado.


Respuestas:


5.1. 22, 24 y 26.


5.2. 18.


5.3. 16 años.


5.4. 120 cajas de lápices.


5.5. 21,5 metros.


5.6. 8 billetes de $2 y 10 de $5.


5.7. $3000, $5000 y $1500.


5.8.

Primera persona: $9.000

Segunda persona: $15.000

Tercera persona: $1.500.


5.9. 40 litros y 68 litros.


5.10. José 6 años, Pablo 8 años y César 3 años.


5.11. 3kg del de $22 y 7 kg del de $12.