Áreas

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Área de algunos polígonos
Para comenzar te mostraremos imágenes para que observándolas te des cuenta de lo fácil que resulta calcular el área de ciertos polígonos que conocés desde chico con sólo saber calcular las áreas del rectángulo y del triángulo.


Elegimos para ello al trapecio. Fijate que si buscás en un manual o en Internet la fórmula del área del trapecio encontrarás la siguiente:
Areas-004.png
creemos que no deberían aparecer en ningún libro este tipo de fórmulas pues, a nuestro entender son parte de la razón por la que muchas personas terminan creyendo esto de la “magicidad” de la que te venimos hablando.


Con observar la siguiente sucesión de imágenes bastará para que comprendas que no te hace falta ninguna fórmula. Los datos son b, B y H. La base de la tercera imagen (triángulo) se deduce muy fácilmente que es es B-b.

Areas-000.png

Si te resulta interesante tratá de llegar vos mismo a la fórmula que tachamos antes, a partir de lo que sabés hasta ahora, sumando las áreas de un triángulo y de un rectángulo y alguna cuestión algebraica sencilla (sacar factor común H)


Utilizando sólo los conceptos que acabamos de recordarte (área del rectángulo y área del triángulo) te pedimos que realices los siguientes problemas:


Actividad 3)

Calcular el área de un trapecio cuya base mayor mide 12 cm, su base menor 8 cm y su altura 9 cm.


Actividad 4)

Calcular el área de un paralelogramo de 14 cm de base y 6 cm de altura.


Actividad 5)

Si tenés que calcular el área de un rombo ¿qué medidas tomarías para obtenerla usando sólo los conceptos expuestos hasta aquí?


Actividad 6)

Calcular el área de un hexágono regular sabiendo que su lado mide 8 cm y la su apotema mide 6,93 cm.


Areas-001.png
Área del círculo
Al resolver el problema anterior, te habrás dado cuenta de que debiste calcular el área de un triángulo y luego multiplicarla por seis. Para ello bastó conocer la medida del lado y la de la apotema (así llamamos a la altura, correspondiente al lado del polígono, de cada uno de lo triángulos isósceles (en este caso también equiláteros) iguales entre sí, en los que queda dividido el polígono regular trazando los segmentos que van desde su centro de simetría hasta cada uno de sus vértices)


Esta fue la cuenta:
A_t = \frac{8 ~cm \cdot 6,93 ~ cm }{2} = 27,72 ~ cm^2
y luego multiplicaste esa medida por seis y te dio: 166,32 cm2.
Ahora podrás observar que n \cdot l_n es el perímetro del polígono, por lo tanto el área de un polígono regular de un número cualquiera de lados resultará:
Area-005.png

Pero como venimos diciéndote desde el comienzo a esta fórmula, como tantas otras que aparecen en Internet y en manuales, no tenés porqué recordarla de memoria. Sin embargo hemos hecho esta “deducción” porque nos será muy útil para que comprendas de dónde proviene la fórmula del área del círculo, que tantas veces, seguramente, usaste y que sí deberías memorizar.

Antes recordaremos cómo te enseñaron el significado del número \pien quinto o sexto grado:


Si medimos la longitud de cualquier circunferencia, representada en cartón, por ejemplo con un piolín, y dividimos ese valor por el de la longitud de su diámetro veremos que siempre es tres y un poquito. En realidad ocurre que:
\frac{\text{Medida de la longitud de la circunferencia}}{\text{Medida de su diámetro}} = \pi


de donde se infiere de inmediato que (dicho brevemente):


Longitud de la circunferencia = \pi . Longitud del diámetro


Y a su vez, dado que el diámetro es el doble del radio surge la fórmula, seguramente por vos conocida:
L = 2\pi ~ r
Volvamos ahora al problema que nos ocupaba antes: encontrar la fórmula del área del círculo.
Mediante las imágenes que a continuación colocamos pretendemos que infieras que podés pensar al círculo como un polígono regular de infinitos lados:
Areas-006.png


\text{Área}\,{\,}\text{del}\,{\,}\text{polígono}\,{\,}\text{regular=}\frac{\text{Perímetro}\,{\,}\cdot \,{\,}\text{Apotema}}{2} y reemplaces el perímetro por la longitud de la circunferencia y la apotema por el radio. De inmediato obtendrás:

\text{Área del círculo} = \pi ~ r^2

Sería bueno que observes que los triángulos en que debemos dividir el polígono regular para obtener su área se van volviendo cada vez más “flaquitos”, a medida que el número de lados aumenta, hasta que, en el caso del círculo se vuelven segmentos (los radios). Entonces se suele decir que cuando la cantidad de lados tiende a infinito los triángulos tienden a “convertirse” en los radios del círculo por lo tanto la apotema tiende al radio.

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